Question

Исследовать функцию с помощью производной, составить уравнение касательной (в указанной точке), построить графики f(t)=t^3-9t^2+2t+30,x=3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f'(t) = 3t^2 - 18t + 2 = 0

D4 = 81 - 6 = 75 = (5√3)^2

t1,2 = (9 ± 5√3)/3 = 3 ± 5/3 * √3

   +                                  -                                    +

_____3 - 5/3 * √3_________3 + 5/3 * √3_______

   /                                 \                                  /

Возрастает: x ∈ (-∞; 3 - 5/3 * √3] U [ 3 + 5/3 * √3; +∞)

Убывает: x ∈ [3 - 5/3 * √3; 3 + 5/3 * √3]

У Вас тут t с х смешалось, поэтому я подразумеваю, что t0 = 3

Уравнение касательной: f(t) = f'(t0) * (t - t0) + f(t0)

f'(t0) = 3*3^2 - 18*3 + 2 = -25

f(t0) = 3^3 - 9*3^2 + 2*3 +30 = -18

f(t) = -25 * (t - 3) - 18 = -25t + 57 - уравнение касательной

Графики приложены в вордовском файле

Answer 2

Давайте начнем с исследования функции $f(t) = t^3 - 9t^2 + 2t + 30$ с помощью производной. Затем мы найдем уравнение касательной к графику функции в точке $x = 3$ и построим график функции и касательной.

1. Найдем производную функции $f(t)$: $f'(t) = 3t^2 - 18t + 2$

2. Теперь найдем значение производной в точке $x = 3$: $f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 18 \cdot 3 + 2 = 27 - 54 + 2 = -25$

3. Уравнение касательной к графику функции $f(t)$ в точке $x = 3$ будет иметь вид: $y - f(3) = f'(3) \cdot (x - 3)$ $y - (3^3 - 9 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 + 30) = -25 \cdot (x - 3)$ $y - (-6) = -25x + 75$ $y = -25x + 81$

Теперь мы можем построить графики функции $f(t)$ и уравнения касательной $y = -25x + 81$ на одном графике:

На графике выше красная кривая представляет функцию $f(t) = t^3 - 9t^2 + 2t + 30$, а синяя прямая - это уравнение касательной $y = -25x + 81$ в точке $x = 3$. Как видно, касательная проходит через точку $(3, -6)$ на графике функции $f(t)$.