Question

Интегралы вычислить интеграл 2dx/cos^2 x от 0 до п/3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

это табличный интеграл

$\int\limits^{\pi/3 }_0 {\frac{2}{cos^{2} x}} \, dx = 2tgx I_{0} ^{\pi /3} = 2\sqrt{3} -2*0 = 2\sqrt{3}$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, воспользуемся методом замены переменной. Предлагаю заменить переменную, чтобы упростить интеграл.

Заметим, что: d(cos(x)) = -sin(x) dx,

отсюда dx = -d(cos(x))/sin(x).

Теперь произведем замену переменной: u = cos(x).

Тогда du = -sin(x) dx.

Пределы интегрирования также изменятся: при x = 0, u = cos(0) = 1, при x = π/3, u = cos(π/3) = 1/2.

Подставим новые выражения в исходный интеграл: ∫[0 to π/3] (2dx/cos^2 x) = ∫[1 to 1/2] (2(-d(cos(x))/sin(x))/(cos^2 x)).

Упростим интеграл: ∫[1 to 1/2] (-2d(cos(x))/sin(x))/(cos^2 x) = -2 ∫[1 to 1/2] d(u/u^2) = -2 ∫[1 to 1/2] d(1/u) = -2 [ln|u|]_[1 to 1/2].

Вычислим значения в пределах: -2 [ln|u|]_[1 to 1/2] = -2 (ln|1/2| - ln|1|) = -2 (ln(1/2) - 0) = -2 ln(1/2) = -2 ln(2^(-1)) = -2 (-1 ln(2)) = 2 ln(2).

Итак, вычисленный интеграл равен 2 ln(2).