Question

1) интеграл от 2 до -1 x^2dx 2)интеграл от pi/3 до pi/6 (1/cos^2x-1/sin^2x)dx 3) интеграл от 6 до 1 dx/корень из x+3 4) интеграл от 2 до 1 (3x^4+2x^2-5) dx

Answer 1

Решение во вложении-----------------------

Answer 2

Давайте по порядку рассмотрим каждый из предложенных интегралов.

1) Интеграл от \(2\) до \(-1\) \(x^2dx\)

Для вычисления данного интеграла используем формулу определенного интеграла:

\[ \int_{a}^{b} x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \bigg|_{a}^{b} \]

Подставим \(a = -1\), \(b = 2\), \(n = 2\):

\[ \int_{-1}^{2} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \]

Таким образом, интеграл от \(2\) до \(-1\) \(x^2dx\) равен \(3\).

2) Интеграл от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{6}\) \(\left(\frac{1}{{\cos}^2x}-\frac{1}{{\sin}^2x}\right)dx\)

Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулами для интегралов от \(\frac{1}{{\cos}^2x}\) и \(\frac{1}{{\sin}^2x}\), которые равны \(\tan x\) и \(-\cot x\) соответственно.

Интеграл от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{6}\) \(\left(\frac{1}{{\cos}^2x}-\frac{1}{{\sin}^2x}\right)dx\) равен интегралу от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{6}\) \(\tan x + \cot x\).

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

\[ \int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C \]

\[ \int \cot x dx = \ln|\sin x| + C \]

Теперь вычислим значение интеграла:

\[ -\ln|\cos x| + \ln|\sin x| \bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -\ln|\cos\frac{\pi}{3}| + \ln|\sin\frac{\pi}{3}| - (-\ln|\cos\frac{\pi}{6}| + \ln|\sin\frac{\pi}{6}|) \]

\[ = -\ln\left|\frac{1}{2}\right| + \ln\left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right| - (-\ln\left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right| + \ln\left|\frac{1}{2}\right|) \]

\[ = -\ln\left(\frac{1}{2}\right) + \ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) \]

\[ = \ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) + \ln\left(\frac{1}{2}\right) \]

\[ = 2\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) \]

Таким образом, интеграл от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{6}\) \(\left(\frac{1}{{\cos}^2x}-\frac{1}{{\sin}^2x}\right)dx\) равен \(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\).

3) Интеграл от \(6\) до \(1\) \(\frac{dx