Question

Найти первообразную функции y=x³(x-5x²)

Answer 1

Найти первообразную функции y=x³(x-5x²)

Пошаговое объяснение:

y=x³(x-5x²)=х⁴-5х⁵,

F(x)=1/5*x⁵-5*1/6*x⁶+C=1/5x⁵-5/6*x⁶+C

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $y = x^3(x - 5x^2)$ мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Давайте выберем $u = x^3$ и $dv = (x - 5x^2) \, dx$. Тогда $du = 3x^2 \, dx$ и $v = \int (x - 5x^2) \, dx$.

Вычислим $v$:

$\int (x - 5x^2) \, dx = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{3}x^3 + C_1$,

где $C_1$ - произвольная постоянная.

Теперь мы можем подставить значения $u$, $du$ и $v$ в формулу интегрирования по частям:

$\int x^3(x - 5x^2) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{12}x^5 - \int \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{3}x^3\right) \cdot 3x^2 \, dx$.

Упростим это выражение:

$\int x^3(x - 5x^2) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{12}x^5 - \int \left(\frac{3}{2}x^4 - \frac{15}{3}x^5\right) \, dx$.

Продолжим интегрирование:

$\int x^3(x - 5x^2) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{12}x^5 - \left(\frac{3}{10}x^5 - \frac{15}{18}x^6\right) + C_2$,

где $C_2$ - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции $y = x^3(x - 5x^2)$ равна:

$F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{12}x^5 - \frac{3}{10}x^6 + \frac{5}{6}x^7 + C$,

где $C = C_2 - C_1$ - итоговая произвольная постоянная.