Question

Длины диагоналей параллелограмма равны 9 и √55, а длина одной из сторон равна 8. Найдите периметр параллелограмма.

Answer 1

Ответ:

$20$

Пошаговое объяснение:

Дано:

$ABCD-$параллелограмм

$AC=9$

$BD=\sqrt{55}$

$AD=8$

$P_{ABCD}-?$

Решение:

по свойству диагоналей параллелограмма: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех его сторон

$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$

Так как в параллелограмме $CD=AB,~~BC=AD$, то $AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)$

$AB^2+AD^2=\frac{AC^2+BD^2}{2}\\\\AB^2=\frac{AC^2+BD^2}{2}-AD^2=\frac{9^2+(\sqrt{55})^2}{2}-8^2=\frac{81+55}{2}-64=\frac{136}{2}-64=\\\\ =68-64=4$

Так как $AB>0$, то $AB=\sqrt{4}=2$

$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=2(AB+AD)=2\cdot(2+8)=2\cdot10=20$

Answer 2

Давайте обозначим параллелограмм так: ABCD, где AB = 8 (длина одной из сторон), AC = 9 (длина одной из диагоналей) и BD = √55 (длина другой диагонали).

Мы знаем, что в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам и образуют четыре равных треугольника. Пусть M будет серединой диагонали AC, а N - серединой диагонали BD. Таким образом, AM = MC = 4.5 и BN = ND = √55 / 2.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника, AMC и BND. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны BC:

BC² = AC² - AB² BC² = 9² - 8² BC² = 81 - 64 BC² = 17 BC = √17

Теперь, чтобы найти периметр параллелограмма, мы можем сложить длины всех сторон:

Периметр = 2(AB + BC) Периметр = 2(8 + √17) Периметр = 16 + 2√17

Таким образом, периметр параллелограмма составляет 16 + 2√17.