Question

Помогите решить , пожалуйста. Найти сумму корней на отрезке (0,Пи) , ответ дать в градусах sin^2 (x+3пи/2)+1/2sin2x=1

Answer 1

Ответ:

45°

Пошаговое объяснение:

$\pi = p$

sin^2(x+3p/2)+0,5sin2x=1

cos^2(x)+cosx×sinx=sin^2(x)+cos^2(x)

sinx×(cosx-sinx)=0

sinx=0 и cosx=sinx

x=pk и x=p/4+pk, где k€Z

из промежутка имеем что Ответ: p/4

Answer 2

Для начала, давайте решим уравнение sin^2(x + 3π/2) + 1/2sin(2x) = 1 на указанном отрезке (0, π).

Уравнение имеет вид: sin^2(x + 3π/2) + 1/2sin(2x) = 1

Мы заметим, что sin^2(x + 3π/2) = cos^2(x), так как sin(π/2 - θ) = cos(θ). И также заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

cos^2(x) + 1/2 * 2sin(x)cos(x) = 1

Упростим:

cos^2(x) + sin(x)cos(x) = 1

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами. Заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому можно записать sin(x)cos(x) = 1/2 * sin(2x).

Подставим это в уравнение:

cos^2(x) + 1/2 * sin(2x) = 1

Теперь у нас есть уравнение только с функцией cos(x) и sin(2x):

cos^2(x) + 1/2 * sin(2x) = 1

Заметим, что так как нас интересует отрезок (0, π), то cos(x) > 0 на этом отрезке, и мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

1 - sin^2(x) + 1/2 * sin(2x) = 1

Упростим:

1 - sin^2(x) + 1/2 * 2sin(x)cos(x) = 1

И далее:

1 - sin^2(x) + sin(x)cos(x) = 1

Теперь подставим sin(x)cos(x) = 1/2 * sin(2x) ещё раз:

1 - sin^2(x) + 1/2 * sin(2x) = 1

Упростим:

1 - sin^2(x) + 1/2 * sin(2x) = 1

Таким образом, у нас получилось уравнение:

1 - sin^2(x) + 1/2 * sin(2x) = 1

которое равносильно:

sin^2(x) + 1/2 * sin(2x) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение. Подставим sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и упростим:

sin^2(x) + 1/2 * 2sin(x)cos(x) = 0

sin^2(x) + sin(x)cos(x) = 0

Используем тот же подход, что и выше:

sin^2(x) + sin(x)cos(x) = 0

sin(x)(sin(x) + cos(x)) = 0

Так как sin(x) > 0 на интересующем нас отрезке (0, π), то это уравнение можно разделить на sin(x):

sin(x) + cos(x) = 0

Теперь решим это уравнение:

sin(x) + cos(x) = 0

cos(x) = -sin(x)

Теперь найдем значение x, удовлетворяющее этому уравнению на интересующем нас отрезке (0, π):

На интервале (0, π/2): Подходит x = π/4 (так как sin(π/4) = cos(π/4)).

Сумма корней на интервале (0, π) будет:

π/4

Теперь вычислим эту сумму в градусах:

Сумма в градусах = (π/4) * (180/π) = 45 * 180 / π ≈ 257.73 градусов

Таким образом, сумма корней уравнения на интервале (0, π) примерно равна 257.73 градусам.