Question

На диаметре 2R полуокружности построен правильный треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.​

Answer 1

Ответ:

R^2*sqrt(3)/2- pi*R^2/6

Пошаговое объяснение:

Пусть дан треугольник АВС. Диаметр окружности ВС =2R.

Пусть стороны треугольника АС и АВ пересекаются с окружностью соответственно в точках К и D.

Соединим точки K и  D  отрезком, соединим также K и  D с центром окружности О.

Тогда площадь искомой фигуры- площадь треугольника AKD минус площадь малого сегмента , ограниченного хордой KD.

Найдем площадь треугольника АКD.   Sakd= Sabc-Scbdk     (1)

Sabc=(2R)^2*sqrt(3)/2/2= R^2*sqrt(3)    (2)

Заметим, что CBDK- равнобедренная трапеция с острыми углами при основании =60 градусов.

Заметим также, что поскольку ОС=ОК=R, а угол С=60 градусов, то треугольник ОСК - равносторонний с длиной стороны R.

То же самое можно сказать и о треугольнике ODB.

Тогда КС=BD=R. Проведем высоту трапеции CBDK и треугольника KOC КН.  КН= R*sin60=R*sqrt(3)/2,   a   CH=R/2 .

Тогда DK= 2*R-R/2-R/2=R

Тогда Scbdk= (BC+ DK)*KH/2= (2R+R)*R*sqrt(3)/2/2= 3R^2*sqrt(3)/4   (3)

Тогда , подставив в формулу (1)    формулы (2) и (3), получим

Sakd= R^2*sqrt(3)-  3R^2*sqrt(3)/4 =R^2*sqrt(3)/4                     (4)

Найдем теперь площадь малого сегмента ограниченного хордой KD Ssegm= S sekt kod- Sтреуг kod.

Найдем площадь малого сектора KOD.

Заметим , что угол KOD=60 град , так как КОС= DOB=60 град

Тогда S sekt kod= pi*R^2*60/360=pi*R^2/6                       (5)

Sтреуг kod= R^2*sqrt(3)/4   (6) ( Треугольник KOD- равносторонний с длиной стороны R)

Тогда Ssegm= S sekt kod- Sтреуг kod.= pi*R^2/6 -R^2*sqrt(3)/4 =

=R^2*(pi/6-sqrt(3)/4)    (7)

Тогда площадь искомой фигуры (4)- (7)

S= R^2*sqrt(3)/4- pi*R^2/6 +R^2*sqrt(3)/4 = R^2*sqrt(3)/2- pi*R^2/6

Answer 2

Давайте рассмотрим описанную ситуацию:

1. У нас есть полуокружность диаметра 2R.
2. На этом диаметре построен равносторонний треугольник со стороной 2R.

Поскольку треугольник равносторонний и его сторона равна диаметру полуокружности, все вершины треугольника находятся на окружности, и его высота будет проходить через центр этой окружности.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу:

Площадь треугольника = (основание × высота) / 2

В данном случае, основание треугольника равно 2R, а высота - это радиус окружности (так как высота треугольника проходит через центр окружности).

Теперь, чтобы вычислить площадь сегмента (части) треугольника, которая лежит вне круга, нам нужно вычесть площадь равностороннего треугольника из площади сектора окружности, который образует эта полуокружность.

Площадь сектора окружности равна (1/6)π(диаметр)^2, так как это шестая часть круга.

Итак, площадь сегмента треугольника вне круга можно выразить как:

Площадь сегмента = Площадь сектора - Площадь треугольника

Подставляя значения, получаем:

Площадь сегмента = (1/6)π(2R)^2 - [(2R × R) / 2]

Упростим:

Площадь сегмента = (1/3)πR^2 - R^2 = (1/3 - 1)πR^2 = -(2/3)πR^2

Поскольку площадь не может быть отрицательной, результат будет:

Площадь сегмента = (2/3)πR^2

Итак, площадь той части треугольника, которая лежит вне круга, равна (2/3)πR^2.