Question

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение x^2+ (7- a)^2 = |x + a - 7| + |x -a + 7| имеет единственный корень

Answer 1

5, 7, 9

Решение задачи прилагаю

Answer 2

Данное уравнение содержит модули, что усложняет его решение. Однако мы можем разбить решение на несколько случаев в зависимости от знаков выражений внутри модулей. Давайте рассмотрим все возможные случаи.

Уравнение: x^2 + (7 - a)^2 = |x + a - 7| + |x - a + 7|

При анализе модулей есть четыре возможных случая:

1. x + a - 7 ≥ 0, x - a + 7 ≥ 0: В этом случае модули остаются без изменения. Уравнение можно переписать следующим образом: x^2 + (7 - a)^2 = (x + a - 7) + (x - a + 7)

2. x + a - 7 ≥ 0, x - a + 7 < 0: Здесь первый модуль остается без изменения, а второй меняет знак. Уравнение примет вид: x^2 + (7 - a)^2 = (x + a - 7) - (x - a + 7)

3. x + a - 7 < 0, x - a + 7 ≥ 0: В этом случае первый модуль меняет знак, а второй остается без изменения. Уравнение будет иметь вид: x^2 + (7 - a)^2 = -(x + a - 7) + (x - a + 7)

4. x + a - 7 < 0, x - a + 7 < 0: В обоих модулях меняются знаки. Уравнение можно переписать так: x^2 + (7 - a)^2 = -(x + a - 7) - (x - a + 7)

Теперь рассмотрим каждый из случаев и найдем значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

1. x^2 + (7 - a)^2 = 2x Путем алгебраических преобразований получим квадратное уравнение и найдем дискриминант: x^2 - 2x + (7 - a)^2 = 0 D = 4 - 4(7 - a)^2

   Для единственного корня дискриминант должен быть равен нулю: 4 - 4(7 - a)^2 = 0 1 - (7 - a)^2 = 0 (7 - a)^2 = 1 7 - a = ±1 a = 6 или a = 8

2. x^2 + (7 - a)^2 = 14 Аналогичным образом решим квадратное уравнение: x^2 - 14 + (7 - a)^2 = 0 D = 14 - 4(7 - a)^2

   Дискриминант должен быть равен нулю: 14 - 4(7 - a)^2 = 0 14 - 4(49 - 14a + a^2) = 0 56a - 4a^2 = 0 a(14 - a) = 0 a = 0 или a = 14

3. x^2 + (7 - a)^2 = -2x + 14 x^2 + 2x + (7 - a)^2 = 14 Решаем квадратное уравнение: x^2 + 2x + (7 - a)^2 - 14 = 0 D = 4 - 4(7 - a)^2 + 14 - (7 - a)^2 D = -3(7 - a)^2 + 18

   Дискриминант равен нулю: -3(7 - a)^2 + 18 = 0 3(7 - a)^2 = 18 (7 - a)^2 = 6 7 - a = ±√6 a ≈ 7 + √6 или a ≈ 7 - √6

4. x^2 + (7 - a)^2 = -2x x^2 + 2x + (7 - a)^2 = 0 D = 4 - 4(7 - a)^2 D = 4(1 - (7 - a)^2)

   Дискриминант должен быть равен нулю: 1 - (7 - a)^2 = 0 (7 - a)^2 = 1 7 - a = ±1 a = 6 или a = 8

Итак, получили значения a, при которых уравнение имеет единственное решение: a = 0, a = 6, a = 8, a ≈ 7 + √6, a ≈ 7 - √6, a = 14.