Question

Исследовать на экстремум функцию z=x^2-xy+y^2+3x-2y+1

Answer 1

Ответ:

=========================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции z = x^2 - xy + y^2 + 3x - 2y + 1 на экстремумы, нам нужно найти её частные производные по переменным x и y, приравнять их к нулю и решить получившуюся систему уравнений.

Частная производная по x: dz/dx = 2x - y + 3

Частная производная по y: dz/dy = -x + 2y - 2

Теперь приравняем эти производные к нулю и решим систему уравнений:

2x - y + 3 = 0 ...(1) -x + 2y - 2 = 0 ...(2)

Умножим уравнение (1) на 2 и сложим его с уравнением (2):

4x - 2y + 6 - x + 2y - 2 = 0 3x + 4 = 0

3x = -4 x = -4/3

Подставим значение x в уравнение (1) или (2) и найдем y:

2*(-4/3) - y + 3 = 0 -8/3 - y + 3 = 0 -8/3 + 9/3 - y = 0 1/3 - y = 0 y = 1/3

Таким образом, мы получили значения x = -4/3 и y = 1/3, которые являются критическими точками функции.

Чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, мы можем использовать вторую производную теста. Для этого найдем частные производные второго порядка:

d^2z/dx^2 = 2 d^2z/dy^2 = 2

Теперь найдем смешанную производную:

d^2z/dxdy = -1

Подставим значения x = -4/3 и y = 1/3 во вторые производные:

d^2z/dx^2 = 2 d^2z/dy^2 = 2 d^2z/dxdy = -1

Используя критерий второй производной, если d^2z/dx^2 * d^2z/dy^2 - (d^2z/dxdy)^2 > 0, то точка является экстремумом. В противном случае, это точка перегиба.

2 * 2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3

Поскольку 3 > 0, мы можем сделать вывод, что точка (x = -4/3, y = 1/3) является экстремумом.

Таким образом, функция z = x^2 - xy + y^2 + 3x - 2y + 1 имеет локальный минимум в точке (x = -4/3