Question

Произведение корней уравнения 2logx27−3log27x=1 равно

Answer 1

$2\cdot log_x27-3\cdot log_{27}x=1\\2\cdot log_x3^3-3\cdot log_{3^3}x=1\\6\cdot log_x3-log_{3}x=1\\log_{3}x = t, log_{x}3=\frac{1}{t}\\\frac{6}{t} -t=1 |\cdot t\\6-t^2=t\\t^2+t-6=0\\t=-3;2$

$1) log_{3}x=-3\\x=3^{-3}=\frac{1}{27}\\2) log_{3}x = 2\\x=3^2=9$

Произведение корней:

$\frac{1}{27} \cdot 9 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

Уравнение: 2logₓ27 - 3log₂₇x = 1

Мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы упростить это уравнение:

2logₓ27 - 3log₂₇x = logₓ(27²) - log₂(x³) = logₓ(729) - log₂(x³)

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов, чтобы объединить два логарифма в один:

logₓ(729) - log₂(x³) = logₓ(729/2(x³))

Таким образом, уравнение сводится к:

logₓ(729/2(x³)) = 1

Теперь мы можем применить определение логарифма и переписать уравнение в экспоненциальной форме:

ₓ^(logₓ(729/2(x³))) = ₓ¹

729/2(x³) = ₓ

Теперь у нас есть экспоненциальное уравнение, которое можно решить. Для упрощения рассмотрим 729/2 как одно число:

364.5(x³) = ₓ

Теперь мы можем рассмотреть два случая для решения этого уравнения:

Случай 1: ₓ = x

364.5(x³) = x

Уравнение можно переписать в виде кубического уравнения:

364.5x³ - x = 0

Выражение x(x² - 364.5) = 0

Таким образом, одно из возможных решений этого случая - x = 0.

Случай 2: ₓ = 1/x

364.5(x³) = 1/x

Перемножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

364.5x⁴ = 1

x⁴ = 1/364.5

x = (1/364.5)^(1/4)

Теперь у нас есть два возможных значения для x: 0 и (1/364.5)^(1/4).

Чтобы найти произведение корней, умножим эти два значения:

Произведение корней = 0 * (1/364.5)^(1/4) = 0.

Таким образом, произведение корней уравнения 2logₓ27 - 3log₂₇x = 1 равно 0.