Question

Решить уравнение 2π cos⁡x=|x|-|x-π|

Answer 1

Ответ:

$\frac{2\pi}{3} -2\pi n; \ \frac{4\pi}{3} -2\pi n; \ \frac{\pi}{2} ; \ \frac{\pi}{3}+2\pi n ;\ -\frac{\pi}{3} +2\pi n, \ n \in \mathbb{N}$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением по частям.

Уравнение: $2\pi \cos(x) = |x| - |x - \pi|$

Первым шагом разделим уравнение на $2\pi$:

$\cos(x) = \frac{|x| - |x - \pi|}{2\pi}$

Заметим, что $\cos(x)$ находится в диапазоне $[-1, 1]$, а выражение $\frac{|x| - |x - \pi|}{2\pi}$ находится в диапазоне $[-0.5, 0.5]$ (так как модуль никогда не может быть больше половины $\pi$).

Следовательно, чтобы уравнение имело решение, правая сторона должна лежать в диапазоне $[-1, 1]$.

Это значит, что уравнение имеет решения только в тех точках, где $\frac{|x| - |x - \pi|}{2\pi}$ находится в диапазоне $[-1, 1]$.

Теперь рассмотрим различные случаи для $x$:

1. $x < 0$: В этом случае $|x| = -x$, $|x - \pi| = \pi - x$, и уравнение примет вид: $\cos(x) = \frac{-x - (\pi - x)}{2\pi} = \frac{-\pi}{2\pi} = -\frac{1}{2}$

2. $0 \leq x < \pi$: В этом диапазоне $|x| = x$, $|x - \pi| = \pi - x$, и уравнение станет: $\cos(x) = \frac{x - (\pi - x)}{2\pi} = \frac{2x - \pi}{2\pi} = \frac{x}{\pi} - \frac{1}{2}$

3. $x \geq \pi$: В этом случае $|x| = x$, $|x - \pi| = x - \pi$, и уравнение выглядит так: $\cos(x) = \frac{x - (x - \pi)}{2\pi} = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$

Теперь мы видим, что второй случай не подходит, так как косинус не может быть равен $\frac{x}{\pi} - \frac{1}{2}$ при значениях $0 \leq x < \pi$.

Остаются два случая: $x < 0$ и $x \geq \pi$, в которых уравнение имеет решения:

1. $x < 0$: $x$ не ограничено, так что здесь есть бесконечно много решений.

2. $x \geq \pi$: В этом случае решение можно найти из уравнения $\cos(x) = \frac{1}{2}$. Одно из решений $x = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, уравнение $2\pi \cos(x) = |x| - |x - \pi|$ имеет бесконечно много решений в диапазоне $x < 0$, а также решение $x = \frac{\pi}{3}$.