Question

Здравствуйте, помогите обчислить интеграл (cos 2x dx)/(sin x * cos x)

Answer 1

Вычислить интеграл: $\displaystyle \int \dfrac{\cos 2x}{\sin x \cos x} \, dx$

Answer 2

Здравствуйте!

Давайте рассмотрим интеграл $\int \frac{\cos(2x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)} dx$.

Для начала, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить выражение в числителе:

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

Теперь интеграл можно переписать следующим образом:

$\int \frac{2\cos^2(x) - 1}{\sin(x) \cdot \cos(x)} dx$.

Разделим числитель на две дроби:

$\int \frac{2\cos^2(x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)} dx - \int \frac{1}{\sin(x) \cdot \cos(x)} dx$.

Разделим на множители в каждой из интегралов:

$\int \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} dx - \int \frac{1}{\sin(x)} dx + \int \frac{1}{\cos(x)} dx$.

Теперь рассмотрим каждый из интегралов по отдельности:

1. $\int \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} dx$:

Для интегрирования этой части можно сделать замену переменной $u = \sin(x)$, тогда $du = \cos(x) dx$:

$\int \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} dx = \int \frac{2}{u} du = 2\ln|u| + C_1 = 2\ln|\sin(x)| + C_1$.

2. $\int \frac{1}{\sin(x)} dx$:

Для этого интеграла можно использовать метод частичной дробей или замену переменной.

3. $\int \frac{1}{\cos(x)} dx$:

Для этого интеграла можно использовать замену переменной $v = \sin(x)$, которая приведет к интегралу вида $\int \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} dv$, который может быть решен с использованием арксинуса.

Итак, интеграл исходной функции будет выглядеть как:

$2\ln|\sin(x)| - \int \frac{1}{\sin(x)} dx + \int \frac{1}{\cos(x)} dx + C$.

Надеюсь, это помогло!