Question

Решить уравнения: 1. cos2x-sin(п/2+x)+1=0 2. cos2x+sin(п/2-x)+1=0

Answer 1

$></p> <p><img src=$

Answer 2

Давайте решим данные уравнения по очереди.

Уравнение 1: $\cos(2x) - \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$

Сначала заметим, что $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)$. Подставим это в уравнение:

$\cos(2x) - \cos(x) + 1 = 0$

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой:

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$

Подставим это обратно в уравнение:

$2\cos^2(x) - 1 - \cos(x) + 1 = 0$

$2\cos^2(x) - \cos(x) = 0$

Теперь можно вынести $\cos(x)$ как общий множитель:

$\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0$

Отсюда мы получаем два уравнения:

1. $\cos(x) = 0$
2. $2\cos(x) - 1 = 0$

Для первого уравнения, $\cos(x) = 0$ имеет решение при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число.

Для второго уравнения, $2\cos(x) - 1 = 0$, решение можно найти так:

$2\cos(x) = 1$ $\cos(x) = \frac{1}{2}$

Это имеет два решения в интервале $[0, 2\pi)$: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{5\pi}{3}$.

Итак, общие решения для уравнения 1:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$ и $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $n$, $m$ и $k$ - целые числа.

Уравнение 2: $\cos(2x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 1 = 0$

Аналогично первому уравнению, заметим, что $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$. Подставим это в уравнение:

$\cos(2x) + \cos(x) + 1 = 0$

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для $\cos(2x)$:

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$

Подставим это обратно в уравнение:

$2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) + 1 = 0$

$2\cos^2(x) + \cos(x) = 0$

Так же, как и в первом уравнении, можно вынести $\cos(x)$ как общий множитель:

$\cos(x) \cdot (2\cos(x) + 1) = 0$

Отсюда мы получаем два уравнения:

1. $\cos(x) = 0$
2. $2\cos(x) + 1 = 0$

Первое уравнение, $\cos(x) = 0$, имеет решение при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число.

Второе уравнение, $2\cos(x) + 1 = 0$, решение можно найти так:

$2\cos(x) = -1$ $\cos(x) = -\frac{1}{2}$