Question

Упростить ( cos(a) + sin(a) ) / ( -2 * cos(a) * sin(a) + 1 )

Answer 1

Ответ:

(-sin(a) - cos(a))/(sin(2 a) - 1)

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Прежде всего, обратим внимание на то, что выражение в числителе напоминает формулу сложения для синуса:

$$\sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)$$

Мы видим, что в числителе у нас есть $\cos(a) + \sin(a)$, что подсказывает нам использовать $\sin(x + \pi/4)$, так как $\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$.

Применяем это тождество:

$$\cos(a) + \sin(a) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos(a) + \sin(a)) = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(a) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(a) \right) = \sqrt{2} \cdot \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)$$

Затем обратим внимание на знаменатель. Он напоминает формулу половинного угла для тангенса:

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)}$$

Подставив $\cos(a) + \sin(a)$ вместо $\sin(x)$ и учитывая $\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$, получаем:

$$-2 \cos(a) \sin(a) + 1 = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin(a) \cos(a) + 1 = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sin(a) \cos(a) + 1 = -\sin(2a) + 1$$

Итак, исходное выражение можно упростить как:

$$\frac{\sqrt{2} \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)}{-\sin(2a) + 1}$$

Пожалуйста, обратите внимание, что это упрощение выражения, но оно может быть представлено разными способами, в зависимости от того, какие тригонометрические формулы и тождества вы предпочтете использовать.