Question

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если эта сумма на 6 больше суммы первых трех ее членов, а сумма первых трех на 1 больше суммы следующих трех членов.

Answer 1

$S=\frac{b_{1}}{1-q}$

$\frac{b_{1}}{1-q}> b_{1}+b_{2}+b_{3}$   на  6

$b_{1}+b_{2}+b_{3} >b_{4}+b_{5}+b_{6}$     на 1

По формуле:  $b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$

$\frac{b_{1}}{1-q}= b_{1}+b_{1}\cdot q+b_{1}\cdot q^2+6$      ⇒    $b_{1}\cdot (\frac{1}{1-q} -(1+q+q^2))=6$

$b_{1}+b_{1}\cdot q+b_{1}\cdot q^2=b_{1}q^3+b_{1}q^4+b_{1} q^5+1$  ⇒$b_{1}(1+ q+q^2)-b_{1}q^3(1+q+q^2)=1$

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$\left \{ {{b_{1}\cdot (\frac{1}{1-q} -(1+q+q^2))=6} \atop {b_{1}(1+ q+q^2)-b_{1}q^3(1+q+q^2)=1}} \right.$         $\left \{ {{b_{1}\cdot\frac{1-(1^3-q^3)}{1-q}=6} \atop b_{1}\cdot (1+ q+q^2)(1-q^3)=1}} \right.$       $\left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop\frac{6(1-q)}{q^3}\cdot (1+ q+q^2)(1-q^3)=1}} \right.$

$\left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop{{6(1-q^3)\cdot (1-q^3)=q^3}} \right.$     $\left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop{{6q^6-13q^3+6=0}} \right.$     D=13² -4·6·6=25

$\left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop{q^3=\frac{2}{3}}} \right.$    или    $\left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop{q^3=\frac{3}{2}}} \right.$  ( не удовл условию уб. прогрессии)

$\left \{ {{b_{1}=9(1-\sqrt[3]{ \frac{2}{3}})} \atop{q=\sqrt[3]{ \frac{2}{3}}}} \right.$

$S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{9(1-\sqrt[3]{ \frac{2}{3}})} {1-\sqrt[3]{ \frac{2}{3}}}}} =9$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии будет $a$, а знаменатель (отношение) этой прогрессии будет $q$. Тогда второй член будет $aq$, а третий член будет $aq^2$.

Сумма первых трех членов прогрессии: $S_3 = a + aq + aq^2$.

Сумма следующих трех членов прогрессии: $S_{3+3} = aq^3 + aq^4 + aq^5$.

Мы знаем, что сумма всей бесконечной геометрической прогрессии равна $\frac{a}{1-q}$.

По условию задачи, дано, что:

1. Сумма всей прогрессии на 6 больше суммы первых трех членов: $\frac{a}{1-q} = a + aq + aq^2 + 6$.

2. Сумма первых трех членов на 1 больше суммы следующих трех членов: $a + aq + aq^2 = aq^3 + aq^4 + aq^5 + 1$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $q$:

$$\begin{align*} \frac{a}{1-q} &= a + aq + aq^2 + 6 \\ a + aq + aq^2 &= aq^3 + aq^4 + aq^5 + 1 \end{align*}$$

Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод подстановки или любой другой метод решения систем линейных уравнений. После нахождения $a$ и $q$, мы сможем найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $\frac{a}{1-q}$.