Question

Помогите доказать, что решением sin x = a при |a| 1 решений нет.

Answer 1

Синус — это ордината точки на числовой окружности. Так как эта окружность имеет радиус 1, то область значений синуса — от -1 до 1.

|a| > 1 ⇔ a < -1 или a > 1. При данных a sin x равняется некоторому числу, выходящему за пределы области значений синуса. Значит, не существует такого x, при котором достигалось бы значение a в заданном промежутке.

Answer 2

Пошаговое объяснение: рис. прилагаю во вложении.

Лучше всего на графике увидеть то, что надо доказывать. у=а, я их обозначил зеленым и оранжевым цветом. все, что зеленым , пересекается или касается синусоиды, т.е. есть общие точки у графиков у= sin x = a  и прямой у=a, и общих точек с оранжевыми прямыми вы не видите. т.к. их нет. поэтому нет и решений. Видите. где расположены оранжевые прямые? Выше у=1 и ниже у=-1, а это и есть решение неравенства |a|> 1

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим функцию синуса на интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, который является наименьшим интервалом, включающим все значения арксинуса.

Пусть $|a| > 1$. В данном случае, $a$ может быть либо положительным, либо отрицательным, так как модуль отрицательного числа также больше 1.

1. Пусть $a > 1$. Тогда рассмотрим интервал $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом интервале функция $\sin x$ возрастает. Это означает, что если $\sin x = a$, то $x$ должен быть положителен. Однако, так как $a > 1$, то $\sin x$ не может достичь значения $a$ на этом интервале, так как $\sin x$ ограничена значениями от -1 до 1. Следовательно, уравнение $\sin x = a$ не имеет решений на интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а, следовательно, и на всей числовой прямой.

2. Пусть $a < -1$. Аналогично предыдущему случаю, на интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin x$ не может достичь значения $a$, так как она ограничена значениями от -1 до 1.

Таким образом, в обоих случаях ($a > 1$ и $a < -1$) уравнение $\sin x = a$ не имеет решений.