Question

дано трапецію АВСД з основами АД і ВС. відомо що бісектриса кута АВС перетинає середню лінію трапеції у точці Р,а основу АД у точці М. знайти величину кута АРМ Варіанти відповідей а)30 б)45 в)60 г)90 д)120

Answer 1

$BM$ - биссектриса, $\angle ABM=\angle MBC$; $\angle BMA=\angle MBC$ как накрест лежащие при $AM\parallel BC$ и секущей $BM$. Следовательно, $\triangle ABM$ - равнобедренный. Так как $EF$ — средняя линия трапеции, то $EP$ — средняя линия треугольника $ABM$ и она соединяет точки середины сторон, значит $AP$ — медиана, высота и биссектриса ⇒ $\angle APM=90^\circ.$

Answer 2

Давайте розглянемо дану трапецію АВСД і з'ясуємо, які властивості можемо використовувати для знаходження величини кута АРМ.

З огляду на те, що бісектриса кута АВС перетинає середню лінію трапеції, ми можемо припустити, що точка Р лежить на середній лінії і ділить її на дві рівні частини. Отже, лінія РМ - середня лінія трапеції.

Також нам відомо, що бісектриса кута АВС перетинає основу АД у точці М. Це означає, що кут АМД є наполовину кута АВС.

З цими властивостями ми можемо продовжити розв'язок:

1. Кут АМД - наполовину кута АВС.
2. Кут АМД + Кут МАР = 180° (оскільки вони лежать на одній прямій).
3. Так як кут МАР є кутом бісектриси кута АВС, то кут МАР = Кут ВАР (оскільки бісектриса розділяє кут на два рівних кути).

Підсумовуючи ці властивості:

Кут АМД + Кут МАР = 180° Кут МАР = Кут ВАР Кут АМД = 0.5 * Кут АВС

З огляду на те, що основи АД і ВС паралельні, кут АВС і кут ВАР є сумою двох внутрішніх кутів трапеції. Тобто, кут АВС = Кут ВАР + Кут ВСА.

З попередніх властивостей маємо: 0.5 * Кут АВС + Кут ВАР = 180° Кут АВС = 2 * Кут ВАР

Підставляючи друге рівняння в перше: 0.5 * (2 * Кут ВАР) + Кут ВАР = 180° Кут ВАР + Кут ВАР = 180° 2 * Кут ВАР = 180° Кут ВАР = 90°

Отже, величина кута ВАР дорівнює 90°, а це відповідає варіанту відповіді (г) 90.