Question

Найдите количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых используется ровно две различные цифры​

Answer 1

Все такие числа разобьем на две группы: в записи которых есть ноль и в записи которых нет нуля.

1. Найдем количество чисел, в записи которых нет нуля.

Найдем число способов выбрать 2 цифры, участвующие в записи числа, из 9 оставшихся:

$C_9^2=\dfrac{9\cdot8}{2} =36$

Найдем сколькими способами можно составить четырехзначное число, используя для этого две цифры:

$2^4=16$

Заметим, что в одном из этих способов используется только первая цифра и еще в одном из способов используется только вторая. Так как по условию необходимо использовать ровно две различные цифры, то эти способы не нужно учитывать. Таким образом, число способов составить четырехзначное число с требуемым ограничением:

$2^4-2=14$

Итак, выбрать цифры для записи числа можно 36 способами и для каждого из них можно записать 14 чисел. Значит, всего чисел, в записи которых нет нуля, можно записать:

$36\cdot14=\boxed{504}$

2. Найдем количество чисел, в записи которых есть ноль.

Вторую цифру для записи числа из 9 оставшихся можно выбрать, очевидно, 9 способами.

Найдем сколькими способами можно составить четырехзначное число, используя для этого две цифры, одна из которых 0. На первом месте не может находиться цифра 0, так как в противном случае число не будет четырехзначным. Значит, вариантов составления четырехзначного числа:

$2^3=8$

Отметим, что среди этих способов есть один недопустимый - когда на последних трех местах повторяется цифра, отличная от нуля. На первом месте однозначно находится она же, значит всего в записи числа будет использоваться одна цифра, что не соответствует условию. Значит, число способов составить четырехзначное число, учитывая ограничение:

$2^3-1=7$

Таким образом, выбрать цифры для записи числа можно 9 способами и для каждого из них можно записать 7 чисел. Значит, всего чисел, в записи которых есть ноль, можно записать:

$9\cdot7=\boxed{63}$

3. Общее количество четырехзначных чисел, в записи которых используется ровно две различные цифры:

$504+63=\boxed{567}$

Ответ: 567

Answer 2

Чтобы найти количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых используется ровно две различные цифры, давайте рассмотрим все возможные случаи.

Всего есть 10 различных цифр от 0 до 9. Для выбора двух различных цифр из них мы можем воспользоваться сочетаниями.

C(10, 2) = 10! / (2! * (10 - 2)!) = 45

Таким образом, у нас есть 45 различных комбинаций из двух цифр.

Теперь рассмотрим, какие числа можно образовать из каждой комбинации цифр:

1. Если первая цифра числа не может быть 0 (поскольку это четырехзначное число), то у нас есть 9 вариантов для первой цифры (1-9).
2. У второй цифры также есть 9 вариантов (все цифры от 0 до 9, кроме первой выбранной цифры).
3. Третья и четвертая цифры могут быть любыми из двух выбранных ранее цифр, поэтому у каждой из них есть 2 варианта.

Итак, общее количество чисел для каждой комбинации будет:

9 * 9 * 2 * 2 = 324

Теперь мы можем умножить это число на общее количество комбинаций цифр:

45 (комбинаций) * 324 (числа в каждой комбинации) = 14,580

Итак, существует 14,580 четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых используется ровно две различные цифры.