Question

Найдите наименьшее значение функции y=sqrt(3x^2+5)-sqrt(3x^2) на отрезке [0;3].

Answer 1

Так как функция убывающая (это видно по разности корней, где переменная в квадрате), то минимальное значение будет в точке х =  3.

у = √(3*3²) + 5) - √(3*3²) = √32 - √27 ≈ 0,46.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, нужно:

1. Вычислить значение функции на границах отрезка ([0;3]).
2. Найти критические точки функции внутри этого отрезка, где производная равна нулю или не существует.
3. Сравнить значения функции на границах и критических точках, чтобы найти наименьшее значение.

Функция: y = sqrt(3x^2 + 5) - sqrt(3x^2)

1. Найдем значения функции на границах отрезка:

   • При x = 0: y(0) = sqrt(3 * 0^2 + 5) - sqrt(3 * 0^2) = sqrt(5) - 0 = sqrt(5).
   • При x = 3: y(3) = sqrt(3 * 3^2 + 5) - sqrt(3 * 3^2) = sqrt(32) - 3 * sqrt(3).

2. Вычислим производную функции y по x и найдем критические точки: y' = (1/2) * (6x) / sqrt(3x^2 + 5) - (1/2) * (6x) / sqrt(3x^2) = 3x / (2 * sqrt(3x^2 + 5)) - 3x / (2 * sqrt(3x^2)) = 3x * (1 / (2 * sqrt(3x^2 + 5)) - 1 / (2 * sqrt(3x^2))).

   Заметим, что производная равна нулю, когда числитель равен нулю, то есть: 1 / (2 * sqrt(3x^2 + 5)) - 1 / (2 * sqrt(3x^2)) = 0.

   Упростим это уравнение: 1 / (2 * sqrt(3x^2 + 5)) = 1 / (2 * sqrt(3x^2)), sqrt(3x^2) = sqrt(3x^2 + 5), 3x^2 = 3x^2 + 5, 0 = 5,

   Это уравнение не имеет решений, следовательно, внутри отрезка [0;3] нет критических точек.

3. Сравним значения функции на границах и критических точках: y(0) = sqrt(5), y(3) = sqrt(32) - 3 * sqrt(3).

Из двух возможных значений, наименьшее - это sqrt(5), которое соответствует точке x = 0.

Итак, наименьшее значение функции y = sqrt(3x^2 + 5) - sqrt(3x^2) на отрезке [0;3] равно sqrt(5).