Question

Число a называется пределом последовательности если для любого сколь угодно малого числа ε найдётся число N(ε) такое, что для всех номеров n > N(ε) выполняется неравенство | - a| < ε Так вот, зачем здесь N(ε) и что это вообще такое? Почему именно N(ε), а не просто N?

Answer 1

Какой бы ни была длина интервала. принадлежащая пределу последовательности, начиная с некоторого номера N(ε), т.е. номер зависит от ε, все ее элементы попадают внутрь интервала.

Answer 2

Обозначение N(ε) в данном определении означает, что для любого заданного положительного числа ε (сколь угодно малого), мы можем найти такой номер элемента последовательности (индекс), начиная с которого все элементы последовательности будут находиться достаточно близко к пределу a, так что расстояние между элементами и пределом будет меньше ε. Иными словами, чем меньше ε, тем "ближе" элементы последовательности будут к пределу.

Параметр ε играет роль "радиуса окрестности" вокруг предела a, внутри которой мы хотим, чтобы находились все элементы последовательности. N(ε) задает номер элемента, начиная с которого все остальные элементы находятся внутри этой окрестности.

Почему используется обозначение N(ε), а не просто N? Это делается для того, чтобы подчеркнуть зависимость числа N от значения ε. То есть, для разных значений ε может потребоваться разное количество элементов последовательности, чтобы удовлетворить условию предела.

Пример: Пусть a = 3, и рассматривается последовательность 3, 3.1, 3.14, 3.141, ... (другими словами, приближения числа π). Если мы хотим, чтобы элементы последовательности были на расстоянии не более 0.01 от 3 (т.е. ε = 0.01), то, начиная с N(0.01), все элементы последовательности будут удовлетворять условию |a_n - a| < 0.01.

Таким образом, обозначение N(ε) в определении предела последовательности учитывает зависимость между точностью (заданной ε) и количеством элементов (заданным N) последовательности, необходимых для достижения этой точности.