Question

Известно ab+cd делиться на a+c. Докажите что ad+bc делиться на a+c​

Answer 1

Сложим выражения:

(ab+cd) + (ad+bc) = (ab+bc) +(cd+ad) = b*(a+c) + d*(a+c) =(b+d)*(a+c)

ad+bc = (b+d)*(a+c) - (ab+cd)

(b+d)*(a+c) - делится на (a+c) , при этом ab+cd делится на a+c по условию.

Таким образом :  (b+d)*(a+c) - (ab+cd) =ad+bc - делится на a+c

Answer 2

Дано: ab + cd делится на a + c

Мы хотим доказать, что ad + bc также делится на a + c.

По условию, ab + cd делится на a + c, что означает, что есть некоторое целое число k, для которого выполняется:

ab + cd = k(a + c)

Распишем выражение ab + cd:

ab + cd = k(a + c) ab + cd = ka + kc

Теперь давайте рассмотрим выражение ad + bc:

ad + bc = ad + bc

Мы хотим показать, что ad + bc также делится на a + c. Давайте выразим ad и bc через a и c:

ad = a(a + c) - ac bc = c(a + c) - ac

Теперь мы можем подставить выражения для ad и bc в исходное выражение:

ad + bc = (a(a + c) - ac) + (c(a + c) - ac) ad + bc = a(a + c) + c(a + c) - 2ac ad + bc = a^2 + ac + ac + c^2 - 2ac ad + bc = a^2 + c^2

Мы видим, что ad + bc равно a^2 + c^2, и оно не содержит выражения с -2ac. Однако, мы знаем, что ab + cd делится на a + c, следовательно, это также означает, что a^2 + c^2 делится на a + c. Таким образом, мы доказали, что ad + bc делится на a + c.

Итак, мы показали, что если ab + cd делится на a + c, то ad + bc также делится на a + c.