Question

Кате дали квадратную доску с одинаковыми клетками. Сторона доски содержит нечётноечисло клеток. У Кати есть мешок с конфетами, и она выкладывает на доску конфеты ПОодной на каждую клетку доски. Первыми она выложила две большие диагонали из угла в угол.После этого ей осталось выложить ещё 196 конфет. Какова длина стороны доски в клетках?​

Answer 1

Ответ:

15

Пошаговое объяснение:

Логика элементарная: если число клеток в стороне нечетное, то диагонали пересекаются в центре центральной клетки и арифметическая прогрессия количества клеток в каждом треугольнике, на которые делят диагонали квадрат, начинается с одной клетки. Шаг прогрессии - очевидно что двойка. Диагонали делят квадрат на 4 части, посему 196/4=49 клеток в каждом треугольнике квадрата.

1+3+5+7+9+11+13=49 и плюс еще 2 клетки из диагоналей. Итого в стороне действительно 15 клеток

Answer 2

Предположим, что сторона доски имеет длину $n$ клеток. Так как доска имеет нечётное количество клеток, то мы знаем, что $n$ также является нечётным числом.

Для выкладывания двух больших диагоналей, Кате понадобится $n + (n - 1)$ конфет, так как на первой диагонали будет $n$ клеток, а на второй диагонали будет $n - 1$ клетка (одна клетка из центра будет общей для обеих диагоналей).

Изначально у Кати было $2n - 1$ конфет (из $n$ клеток первой диагонали и $n - 1$ клеток второй диагонали).

Если после выкладывания диагоналей ей осталось выложить ещё 196 конфет, то у неё в итоге будет $2n - 1 + 196$ конфет.

Это можно записать как уравнение: $2n - 1 + 196 = n^2.$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем: $195 = n^2 - 2n + 1.$

Далее мы можем переписать уравнение как квадратное уравнение относительно $n$: $n^2 - 2n - 194 = 0.$

Далее решаем это квадратное уравнение, например, используя квадратное уравнение: $n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-194)}}{2 \cdot 1}.$

Вычисляя корни, получим два значения: $n \approx -13.66$ и $n \approx 15.66$. Так как сторона доски не может быть отрицательной, то решением является $n \approx 15.66$. Так как сторона доски должна быть целым числом, то ближайшее целое нечётное число к $15.66$ это $15$.

Итак, длина стороны доски в клетках составляет 15 клеток.