Question

Есть 3 многочлена. Пусть P(x), Q(x), L(x). Q(x) не равен L(x). требуется доказать, что P(Q(x))-P(L(x)) делится на Q(x)-L(x).

Answer 1

Ответ:

Нужно использовать терему Безу

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся базовым свойством деления многочленов.

По определению, если многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), то существует многочлен R(x) такой, что P(x) = Q(x) * R(x). Мы хотим показать, что P(Q(x)) - P(L(x)) делится на Q(x) - L(x), поэтому нам нужно показать, что существует многочлен R(x), для которого:

P(Q(x)) - P(L(x)) = (Q(x) - L(x)) * R(x).

Разделим левую и правую части на Q(x) - L(x), чтобы получить:

(P(Q(x)) - P(L(x))) / (Q(x) - L(x)) = R(x).

Мы хотим показать, что такой многочлен R(x) существует.

Рассмотрим выражение (P(Q(x)) - P(L(x))) / (Q(x) - L(x)). Заметим, что это выражение представляет разность функций P(Q(x)) и P(L(x)), делённую на разность Q(x) и L(x). Мы знаем, что Q(x) не равен L(x), поэтому разность Q(x) - L(x) не равна нулю.

Теперь воспользуемся теоремой Лагранжа о среднем значении для функций. В соответствии с этой теоремой, если функции P(x) и Q(x) непрерывны на некотором интервале [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), то существует число c в интервале (a, b), такое что:

P(Q(b)) - P(Q(a)) = P'(c) * (Q(b) - Q(a)).

Применим эту теорему к функциям P(x) и Q(x) на интервале [L(x), Q(x)] (при условии, что все многочлены непрерывны и дифференцируемы в этом интервале). Тогда существует число c в этом интервале, такое что:

P(Q(x)) - P(L(x)) = P'(c) * (Q(x) - L(x)).

Мы видим, что (P(Q(x)) - P(L(x))) / (Q(x) - L(x)) = P'(c), где c находится между L(x) и Q(x).

Таким образом, мы нашли многочлен R(x), равный P'(c), где c находится между L(x) и Q(x). Итак, P(Q(x)) - P(L(x)) действительно делится на Q(x) - L(x).