Question

3xy''+y'=0 cроочно есть кто знает Уравнения дифференциальных уравнений, которые снижаются в последовательности

Answer 1

$\displaystyle3xy''+y'=0\\y'=z;y''=z'\\3xz'+z=0\\\frac{3xdz}{dx}=-z|*\frac{dx}{3xz}\\\frac{dz}{z}=-\frac{dx}{3x}\\\int\frac{dz}{z}=-\int\frac{dx}{3x}\\ln|z|=-\frac{1}{3}ln|x|+C_1\\z=\frac{C_1}{\sqrt[3]{x}}=y'\\y=\int\frac{C_1}{\sqrt[3]{x}}dx=\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}C_1+C_2$

Частное решение:

$z=0;y'=0;y=C$

входит в общее при С₁ равным 0

Проверка:

$\displaystyle y=\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}C_1+C_2\\y'=\frac{C_1}{\sqrt[3]{x}}\\y''=-\frac{C_1}{3\sqrt[3]{x^4}}\\3xy''+y'=0\\3x*(-\frac{C_1}{3\sqrt[3]{x^4}})+\frac{C_1}{\sqrt[3]{x}}=0\\0=0$

Answer 2

Уравнение, которое вы предоставили, является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Общее решение этого уравнения можно найти следующим образом:

Уравнение: $3xy'' + y' = 0$

1. Выразите производную второго порядка $y''$ через производную первого порядка $y'$: $y'' = \frac{dy'}{dx}$

2. Подставьте выражение для $y''$ в исходное уравнение: $3x\frac{dy'}{dx} + y' = 0$

3. Разделите обе стороны уравнения на $y'$: $3x\frac{1}{y'}\frac{dy'}{dx} + 1 = 0$

4. Проинтегрируйте обе стороны уравнения по переменной $x$: $3\int x \frac{1}{y'} \frac{dy'}{dx} dx + \int dx = C_1$ где $C_1$ — постоянная интегрирования.

5. После интегрирования первого слагаемого по частям получим: $3\int x d(\ln|y'|) + \int dx = C_1$ $3x \ln|y'| - 3\int \ln|y'| dx + x = C_1$

6. Решите интеграл $\int \ln|y'| dx$ и объедините константы интегрирования: $3x \ln|y'| - 3\int \ln|y'| dx + x = C_1$ $3x \ln|y'| - 3y + x = C_1$

7. Выразите $y'$ и найдите общее решение: $3x \ln|y'| - 3y + x = C_1$ $3x \ln|y'| = 3y - x + C_1$ $\ln|y'| = \frac{1}{3x} (3y - x + C_1)$ $|y'| = e^{\frac{1}{3x} (3y - x + C_1)}$

8. Учтите абсолютное значение, возможно, используя $\pm$: $y' = \pm e^{\frac{1}{3x} (3y - x + C_1)}$

9. Решите получившееся уравнение относительно $y$. Это может потребовать использования методов разделения переменных или других интегрирования: $\frac{dy}{dx} = \pm e^{\frac{1}{3x} (3y - x + C_1)}$

Это дифференциальное уравнение первого порядка, и его точное решение может быть довольно сложным. Возможно, потребуется применение численных методов для нахождения численных приближенных решений.