Question

Скільки існує десятицифрових чисел, в записі яких є хоча б дві однакові цифри?

Answer 1

Всего десятизначных чисел составить можно $9\cdot 10^9$ способами (на первое место используется 9 цифр, так как 0 нельзя ставить, а на оставшиеся 9 мест - по 10 цифр). Теперь посчитаем сколько таких десятизначных чисел можно составить, если цифры не повторяются.

На первое место можно использовать 9 цифр, поскольку 0 не учитываем, на второе место - 9 цифр, т.к. одна цифра уже используется и цифра 0 учитывается, на третьем место — оставшиеся 8 цифра, ... и на десятом месте 1 цифра. Составить их можно 9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 9 * 9! способами.

Итого $9\cdot 10^9-9\cdot 9!=9(10^9-9!)$ способами можно составить десятизначные числа, которые имеют хотя две одинаковые цифры

Ответ: $9(10^9-9!)$ или $8996734080.$

Answer 2

Для вирішення цього завдання можна скористатися принципом комбінаторики. Ми можемо розглянути два випадки:

1. Кількість десятицифрових чисел, де всі цифри різні.
2. Кількість десятицифрових чисел, де є принаймні дві однакові цифри.

Послідовно розглянемо ці два випадки:

1. Кількість десятицифрових чисел, де всі цифри різні: Почнемо з першої цифри. Є 9 можливостей для першої цифри (1-9, бо число не може починатися з нуля). Для другої цифри є 9 можливостей (бо вона може бути будь-якою крім першої вже вибраної цифри). Для третьої цифри - 8 можливостей (бо дві цифри вже вибрані). І так далі до десятої цифри, для якої є 1 можливість.

Отже, загальна кількість таких чисел = 9 * 9 * 8 * ... * 1 = 9!.

2. Кількість десятицифрових чисел, де є принаймні дві однакові цифри: Всього можливих десятицифрових чисел є 10^10 (від 0000000000 до 9999999999). Але ми вже врахували числа, де всі цифри різні (9! чисел). Тому кількість чисел з принаймні двома однаковими цифрами дорівнює: 10^10 - 9!

Значення цього виразу буде відповіддю на ваше запитання.