Question

Даю 42 балла. Репорт халявщикам/за неправильный ответ. Пожалуйста подробное решение. На складе имеется 12 телевизоров, из которых 8 импортного производства. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад телевизоров: а) окажется более двух импортных; б) все будут отечественного производства.

Answer 1

Ответ:  а) 84/99  б) 0.

Пошаговое объяснение:

а) пусть событие А1 заключается в том, что среди взятых наугад телевизоров будет более двух импортных. Рассмотрим противоположное событие А2, которое заключается в том, что среди этих телевизоров окажется не более двух импортных. Так как события А1 и А2 несовместны и притом образуют полную группу событий, то P(A1)+P(A2)=1, откуда P(A1)=1-P(A2). Поэтому будем искать P(A2). Событие А2, в свою очередь, является суммой несовместных событий B0, B1 и B2,

где событие B0 состоит в том, что среди взятых телевизоров не будет ни одного импортного, В1 - один импортный, В2 - два импортных. Отсюда A2=B0+B1+B2 и P(A2)=P(B0)+P(B1)+P(B2). Найдём вероятности событий B0, B1 и B2.

1) P(B0)=0, так как из пяти взятых телевизоров хотя бы один обязательно будет импортным (не импортных всего 12-8=4).

2) P(B1)=C(8,1)*C(4,4)/C(12,5), где C(n,k) - число сочетаний из n по k. Отсюда P(B1)=1/99.

3) P(B2)=C(8,2)*C(4,3)/C(12,5)=14/99.    

Отсюда P(A2)=1/99+14/99=15/99 и тогда P(A1)=1-15/99=84/99.

б) так как на складе всего 4 телевизора отечественного производства, то из 5 взятых телевизоров хотя бы один будет импортным. Поэтому взять 5 отечественных телевизоров невозможно, то есть такое событие является невозможным и его вероятность равна 0.

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику и вероятность.

Общее количество способов выбрать 5 телевизоров из 12 равно числу сочетаний из 12 по 5, что записывается как C(12, 5) или "12 choose 5". Формула для числа сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

где n - общее количество элементов (телевизоров), k - количество элементов, которые мы выбираем (5 в данном случае), и ! обозначает факториал.

a) Вероятность того, что окажется более двух импортных телевизоров, можно вычислить следующим образом:

1. Возможные способы выбрать более двух импортных телевизоров:

   • 3 импортных + 2 отечественных
   • 4 импортных + 1 отечественный
   • 5 импортных + 0 отечественных

2. Для каждого случая вычислим количество сочетаний:

   • 3 импортных + 2 отечественных: C(8, 3) * C(4, 2)
   • 4 импортных + 1 отечественный: C(8, 4) * C(4, 1)
   • 5 импортных + 0 отечественных: C(8, 5)

3. Сложим все возможные случаи, чтобы получить общее количество способов выбрать более двух импортных телевизоров.

4. Разделим это общее количество на общее количество способов выбрать 5 любых телевизоров из 12.

b) Вероятность того, что все телевизоры будут отечественного производства, равна числу сочетаний, выбранных из 4 отечественных телевизоров (из 12 доступных) и делённых на общее количество способов выбрать 5 телевизоров из 12.

Теперь давайте выполним вычисления:

а) Вероятность выбрать более двух импортных телевизоров:

• 3 импортных + 2 отечественных: C(8, 3) * C(4, 2)
• 4 импортных + 1 отечественный: C(8, 4) * C(4, 1)
• 5 импортных + 0 отечественных: C(8, 5)

Суммируем: P(a) = (C(8, 3) * C(4, 2) + C(8, 4) * C(4, 1) + C(8, 5)) / C(12, 5)

b) Вероятность выбрать все отечественные телевизоры: P(b) = C(4, 5) / C(12, 5)

Теперь давайте подставим значения и посчитаем:

а) P(a) = (C(8, 3) * C(4, 2) + C(8, 4) * C(4, 1) + C(8, 5)) / C(12, 5)

P(a) = (56 * 6 + 70 * 4 + 56) / 792 P(a) = (336 + 280 + 56) / 792 P(a) = 672 / 792 P(a) = 0.8485

b) P(b) = C(4, 5) / C(12, 5)

P(b) = 0 / 792 P(b) = 0

Итак, вероятность выбрать более двух импортных телевизоров (а) составляет около 0.8485, а вероятность выбрать все отечественные телевизоры (b) равна 0.