Question

Интеграл dx/(x^4-1)​

Answer 1

Ответ:

x^5/5-x+C , C=const

Пошаговое объяснение:

....

Answer 2

Данный интеграл можно решить, используя метод частных дробей. Первым шагом давайте разложим знаменатель на неприводимые множители:

$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1).$

Теперь мы можем разложить интеграл на частные дроби следующим образом:

$\frac{1}{x^4 - 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}.$

Умножим обе стороны на $x^4 - 1$ и приведём к общему знаменателю:

$1 = A(x - 1)(x^2 + 1) + B(x + 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 - 1).$

Теперь можно разложить правую часть и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ слева и справа:

1 &= Ax^3 + Ax - Ax^2 - A + Bx^3 + Bx + Bx^2 + B + Cx^3 - Cx + Dx^2 - D \\ &= (A + B + C)x^3 + (B - A + Dx^2 - C)x + (-A + B - D). \end{align*}\] Сравнивая коэффициенты, получаем следующую систему уравнений: \[\begin{align*} A + B + C &= 0, \\ B - A + D &= 0, \\ -A + B - D &= 1. \end{align*}\] Решая данную систему, мы получаем \(A = -\frac{1}{2}\), \(B = \frac{1}{2}\), \(C = 0\) и \(D = 0\). Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу и подставить найденные значения: \[\int \frac{dx}{x^4 - 1} = -\frac{1}{2} \int \frac{dx}{x + 1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x - 1}.\] Интегралы \(\int \frac{dx}{x + 1}\) и \(\int \frac{dx}{x - 1}\) можно решить с использованием логарифмов: \[-\frac{1}{2} \ln |x + 1| + \frac{1}{2} \ln |x - 1| + C,\] где \(C\) — постоянная интегрирования. Таким образом, окончательное решение исходного интеграла: \[\int \frac{dx}{x^4 - 1} = -\frac{1}{2} \ln |x + 1| + \frac{1}{2} \ln |x - 1| + C.\]