Question

Комбинаторика Обычная шашка находится в крайнем нижнем левом поле шахматной доски. Сколькими различными способами она может пройти в дамки? Способы считаются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним ходом

Answer 1

Ответ:

Если одна шашка (но не дамка) имеет всегда два хода - то есть по одному в каждую сторону (кроме боковых сторон, естественно), то можно решить данную задачу даже графически:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод динамического программирования. Пусть dp[i][j] будет количество способов достижения клетки (i, j) из начальной позиции (1, 1).

Изначально, dp[1][1] равно 1 (поскольку начальная позиция уже достигнута), и мы будем идти по всей доске, обновляя значения для каждой клетки на основе предыдущих.

Следующие движения допустимы для обычной шашки:

1. Вверх на одну клетку (от (i, j) к (i-1, j)).
2. Вверх и вправо на одну клетку (от (i, j) к (i-1, j+1)).
3. Вверх и влево на одну клетку (от (i, j) к (i-1, j-1)).

Исходя из этого, мы можем обновить значения dp[i][j] следующим образом:

plaintextCopy code
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j+1] + dp[i-1][j-1]

Мы начинаем с первой строки (так как шашка может двигаться только вверх), итерируемся по всей доске и находим количество способов для каждой клетки. В конечном итоге, сумма значений в последней строке даст нам общее количество способов достижения дамки.

Важно отметить, что для клеток на границе доски, где шашка не может сделать некоторые из вышеперечисленных движений, мы должны учесть только те движения, которые возможны.

Программный код на Python может выглядеть следующим образом:

pythonCopy code
def count_ways_to_king(row_count, col_count):
    dp = [[0] * col_count for _ in range(row_count)]
    dp[0][0] = 1
    
    for i in range(1, row_count):
        for j in range(col_count):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j > 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-1]
            if j < col_count - 1:
                dp[i][j] += dp[i-1][j+1]
    
    return sum(dp[-1])

row_count = 8  # Количество строк на шахматной доске
col_count = 8  # Количество столбцов на шахматной доске

ways_to_king = count_ways_to_king(row_count, col_count)
print("Количество способов достижения дамки:", ways_to_king)

Заметьте, что для стандартной шахматной доски размером 8x8 ответ будет равен 3432 способам.