Question

Найти площадь параллелограмма построенного на векторах a = p - 3q b = p + 2q |p| = 1/5 |q| = 1 (p, q) = Пи/2

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{5}$

Пошаговое объяснение:

Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус угла между ними.

$S=|p||q|sin(\frac{\pi }{2} )=\frac{1}{5} *1*1=\frac{1}{5}$

Answer 2

Для нахождения площади параллелограмма, построенного на двух векторах, можно воспользоваться формулой:

Площадь = |a × b|,

где "×" обозначает векторное произведение, а |a × b| обозначает модуль этого векторного произведения.

Дано: a = p - 3q b = p + 2q |p| = 1/5 |q| = 1 (p, q) = π/2

Давайте сначала найдем значения векторов p и q, используя данную информацию:

|p| = 1/5, значит, вектор p имеет длину 1/5 и направлен в заданном направлении.

|q| = 1, значит, вектор q имеет длину 1 и также направлен в заданном направлении.

(p, q) = π/2, это означает, что угол между векторами p и q равен π/2 (90 градусов).

Теперь мы можем выразить векторы a и b через p и q:

a = p - 3q b = p + 2q

Следовательно, векторное произведение a × b будет:

a × b = |i j k | |p_x p_y p_z| |-3 1 0 | |p_x p_y p_z|

где i, j, k - базисные векторы, p_x, p_y, p_z - компоненты вектора p.

Вычислим векторное произведение:

a × b = (p_y * 0 - p_z * 1)i - (p_x * 0 - p_z * -3)j + (p_x * 1 - p_y * -3)k = -p_zi + 3p_zj + (p_x + 3p_y)k

Модуль вектора a × b равен:

|a × b| = √((-p_z)^2 + (3p_z)^2 + (p_x + 3p_y)^2) = √(p_z^2 + 9p_z^2 + (p_x + 3p_y)^2) = √(10p_z^2 + (p_x + 3p_y)^2)

Учитывая, что у нас есть информация о длинах векторов p и q, их компонентах и угле между ними, давайте выразим их в терминах p_x, p_y и p_z:

p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 = |p|^2 = (1/5)^2 = 1/25, p_x^2 + p_y^2 = p_z^2, cos(π/2) = (p, q) / (|p| * |q|) = 0, так как cos(π/2) = 0, то (p, q) = 0.

Это дает нам следующее уравнение:

p_x + p_y = 0.

Теперь мы можем выразить p_y через p_x из этого уравнения и подставить в выражение для модуля векторного произведения:

p_y = -p_x, |a × b| = √(10p_z^2 + (p_x + 3(-p_x))^2) = √(10p_z^2 + 4p_x^2) = √(2(5p_z^2 + 2p_x^2)).

Таким образом, площадь параллелограмма равна:

Площадь = |a × b| = √(2(5p_z^2 + 2p_x^2)).

Теперь мы можем подставить известные значения |p| = 1/5, |q| = 1 и (p, q) = 0:

p_z^2 = |p|^2 - p_x^2 - p_y^2 = (1/25) - p_x^2 - (-p_x)^2 = 2/25 * p_x^2, p_x^2 + p_y^2 = p_z^2 = 2/25 * p_x^2.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно p_x:

2/25 * p_x^2 + p_x^2 = 2/25 * p_x^2, (27/25) * p_x^2 = 0, p_x^2 = 0, p_x = 0.

Таким образом, p_x = 0 и p_y = 0. Теперь мы можем выразить p_z:

p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 = 1/25, 0 + 0 + p_z^2 = 1/25, p_z^2 = 1/25, p_z = 1/5.

Теперь мы можем вычислить площадь:

Площадь = √(2(5(1/5)^2 + 2(0)^2)) = √(2(1/25 + 0)) = √(2/25) = √2 / 5.

Итак, площадь параллелограмма равна √2 / 5.