Question

Разрезание клетчатой доски по линиям сетки на пять прямоугольников назовём квадратичным, если один из прямоугольников не содержит клеток на краю доски и при этом сам является квадратом. Сколько квадратичных разрезаний у доски 9×9 ? Доска считается жёстко закреплённой

Answer 1

Ответ:

8

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

12

Answer 3

Для нахождения количества квадратичных разрезаний для доски 9x9, можно разбить задачу на более мелкие шаги.

1. Сначала определим, сколько существует способов разрезать доску 9x9 на пять прямоугольников без каких-либо ограничений.

2. Затем определим, сколько из этих разрезаний удовлетворяют условиям квадратичного разрезания.

3. Вычтем количество разрезаний, не соответствующих условиям, из общего числа разрезаний, чтобы найти количество квадратичных разрезаний.

4. Общее количество способов разрезать доску 9x9 на пять прямоугольников можно найти с помощью теории разбиения прямоугольника. Это можно сделать с использованием динамического программирования или по формуле, называемой "число Стирлинга второго рода". В данном случае, количество способов будет:

   S(9, 5) * S(9, 5)

   Где S(n, k) - число Стирлинга второго рода, представляющее количество способов разбить множество из n элементов на k непустых подмножеств.

   S(9, 5) * S(9, 5) = 22827

5. Теперь давайте определим, какие из этих разрезаний удовлетворяют условиям квадратичного разрезания. Для этого нам нужно найти, сколько способов разместить квадрат внутри одного из прямоугольников.

   Поскольку доска 9x9 и квадрат должен быть внутри одного из прямоугольников, то квадрат может быть размещен внутри прямоугольника размером от 1x1 до 4x4 (поскольку 5x5 квадрат не вмещается внутри 9x9 доски).

   Для каждого размера квадрата от 1x1 до 4x4 мы можем найти количество способов разместить его внутри одного из прямоугольников и учесть, что оставшиеся прямоугольники могут быть заполнены оставшимися клетками.

   • Для 1x1 квадрата: 5 способов разместить его внутри одного из прямоугольников (пять прямоугольников).
   • Для 2x2 квадрата: 4 способа разместить его внутри одного из прямоугольников и 4 способа выбрать прямоугольник (4x4 = 16 способов).
   • Для 3x3 квадрата: 3 способа разместить его и 3 способа выбрать прямоугольник (3x3 = 9 способов).
   • Для 4x4 квадрата: 2 способа разместить его и 2 способа выбрать прямоугольник (2x2 = 4 способа).

6. Теперь найдем общее количество квадратичных разрезаний, вычитая количество разрезаний, которые не соответствуют условиям:

   5 * (5 + 16 + 9 + 4) = 5 * 34 = 170

Таким образом, на доске 9x9 с жёсткой фиксацией существует 170 квадратичных разрезаний.