Question

Докажите неравенство а^2+b^2+c^2>=4(a+b+c)

Answer 1

так как слева сумма квадратов, а справа степень 1, то равенство верное

или каким бы не были a, b и с слева число всегда положительное и больше

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, начнем с неравенства о средних:

Неравенство о средних: Для любых неотрицательных чисел x и y выполняется: (x + y)^2 ≥ 4xy

Теперь давайте применим это неравенство к трем парам чисел (a, b), (b, c) и (c, a):

1. (a + b)^2 ≥ 4ab
2. (b + c)^2 ≥ 4bc
3. (c + a)^2 ≥ 4ca

Сложим все три неравенства:

(a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 ≥ 4ab + 4bc + 4ca

Теперь раскроем квадраты:

a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2bc + c^2 + c^2 + 2ca + a^2 ≥ 4ab + 4bc + 4ca

Теперь сгруппируем слагаемые:

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 4ab + 4bc + 4ca

Теперь вычитаем 4ab, 4bc и 4ca из обеих сторон:

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - 4ab - 4bc - 4ca ≥ 0

Теперь упростим выражение:

a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

Теперь можно разделить обе стороны на 2:

(a^2 + b^2 + c^2)/2 - (ab + bc + ca) ≥ 0

Так как (a^2 + b^2 + c^2)/2 ≥ 0 (поскольку все квадраты неотрицательны), и -(ab + bc + ca) ≤ 0 (поскольку сумма произведений двух чисел всегда меньше или равна половине суммы квадратов этих чисел), то:

(a^2 + b^2 + c^2)/2 - (ab + bc + ca) ≥ 0

Теперь умножим обе стороны на 2:

a^2 + b^2 + c^2 - 2(ab + bc + ca) ≥ 0

Это и есть исходное неравенство:

a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2(ab + bc + ca)

Теперь мы доказали данное неравенство:

a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2(ab + bc + ca)

Чтобы доказать неравенство a^2 + b^2 + c^2 ≥ 4(a + b + c), давайте заметим, что:

2(ab + bc + ca) ≥ 4(a + b + c)

Это верно, так как мы можем поделить обе стороны на 2:

ab + bc + ca ≥ 2(a + b + c)

Теперь мы можем заменить ab + bc + ca в исходном неравенстве:

a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2(ab + bc + ca)

a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2 * 2(a + b + c)

a^2 + b^2 + c^2 ≥ 4(a + b + c)

Таким образом, мы доказали, что:

a^2 + b^2 + c^2 ≥ 4(a + b + c)