Question

Доказать тождество: sin(a+b) - 2sina*cosb/2sina*sinb+cos(a+b)= tg(b-a)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для доказательства данного тождества начнем с левой стороны и постепенно преобразуем ее с использованием тригонометрических тождеств.

Исходное тождество: sin(a + b) - (2sin(a)cos(b)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b)) = tan(b - a)

1. Начнем с левой стороны:

sin(a + b) - (2sin(a)cos(b)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b))

2. Преобразуем sin(a + b) с использованием тригонометрической формулы суммы синусов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Теперь подставим это в наше уравнение:

(sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)) - (2sin(a)cos(b)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b))

3. Теперь объединим слагаемые в числителе:

(sin(a)cos(b) - 2sin(a)cos(b)) + (cos(a)sin(b)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b))

4. Вынесем общий множитель sin(a)cos(b) за скобки:

sin(a)cos(b) * (1 - 2) + (cos(a)sin(b)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b))

5. Упростим числитель:

-sin(a)cos(b) + (cos(a)sin(b)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b))

6. Теперь используем тригонометрическую формулу для разности синусов:

sin(b - a) = sin(b)cos(a) - cos(b)sin(a)

Подставим ее в числитель:

-sin(a)cos(b) + (cos(a)sin(b)) = sin(b - a)

Теперь наше уравнение выглядит так:

(sin(b - a)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b))

7. Наконец, применим тригонометрическую формулу для тангенса разности углов:

tan(b - a) = (sin(b - a)) / (cos(b - a))

8. Заменим sin(b - a) на tan(b - a) в числителе:

(tan(b - a)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b))

Таким образом, мы доказали, что левая сторона равна правой:

sin(a + b) - (2sin(a)cos(b)) / (2sin(a)sin(b) + cos(a + b)) = tan(b - a)