Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2√x,6–y=0,x=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

в картинке

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2\sqrt{x}$, $6 - y = 0$ и $x = 0$, мы должны найти точки пересечения этих линий и затем вычислить интеграл, ограниченный этими точками.

1. Начнем с нахождения точек пересечения линии $y = 2\sqrt{x}$ и $6 - y = 0$:

   $2\sqrt{x} = 6 - y$

   $y = 6 - 2\sqrt{x}$

   Теперь мы можем найти точки пересечения, приравняв $2\sqrt{x}$ и $6 - y$:

   $2\sqrt{x} = 6 - 2\sqrt{x}$

   $4\sqrt{x} = 6$

   $\sqrt{x} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

   $x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

   Теперь, чтобы найти соответствующие значения $y$, мы подставим $x$ в выражение для $y$:

   $y = 6 - 2\sqrt{\frac{9}{4}} = 6 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 6 - 3 = 3$

   Таким образом, точка пересечения линий $y = 2\sqrt{x}$ и $6 - y = 0$ имеет координаты $\left(\frac{9}{4}, 3\right)$.

2. Теперь у нас есть точка пересечения линий, и мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Поскольку границей фигуры является линия $x = 0$ (вертикальная линия), а остальные две границы - это кривые, мы будем интегрировать по переменной $x$ от 0 до $\frac{9}{4}$. Площадь фигуры можно выразить следующим образом:

   $S = \int_{0}^{\frac{9}{4}} [y_{\text{верх}}(x) - y_{\text{низ}}(x)] dx$

   Где $y_{\text{верх}}(x)$ - это верхняя граница фигуры ($y = 2\sqrt{x}$), а $y_{\text{низ}}(x)$ - это нижняя граница фигуры ($y = 6 - 2\sqrt{x}$).

   $S = \int_{0}^{\frac{9}{4}} [2\sqrt{x} - (6 - 2\sqrt{x})] dx$

   $S = \int_{0}^{\frac{9}{4}} (4\sqrt{x} - 6) dx$