Question

Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: (4) а) 1, (4); в) 0, (45)​

Answer 1

Чтобы от периодической дроби перейти к обыкновенной, нужно в числитель поставить то число, которое в периоде, а в знаменатель столько девяток, сколько цифр в периоде (это правило действует если период начинается сразу после запятой).

а) 1,(4) = 1 целая 4/9

в) 0,(45) = 45/99 = 5/11 - сократили на 9

Answer 2

Для записи периодических десятичных дробей в виде обыкновенных, вы можете воспользоваться следующими шагами:

a) 1, (4): Пусть x = 1, (4). Это означает, что x = 1 + 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... и так далее. Теперь выразим x в виде обыкновенной дроби:

x = 1 + 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... x = 1 + 4/10 + 4/100 + 4/1000 + ...

Теперь можно привести дроби к общему знаменателю (в данном случае, это 10000) и сложить их:

x = 10000/10000 + 4000/10000 + 400/10000 + 40/10000 + ... x = (10000 + 4000 + 400 + 40 + ...) / 10000

Обратите внимание, что сумма бесконечного ряда (4/10 + 4/100 + 4/1000 + ...) равна 4/9. Теперь мы можем записать x как обыкновенную дробь:

x = (10000 + 4000 + 400 + 40 + ...) / 10000 = (10000 + 4/9) / 10000

Теперь можно сократить дробь, деля числитель и знаменатель на их общий делитель (10000):

x = (10000/10000 + 4/9) / (10000/10000) = (1 + 4/9) / 1

Итак, десятичная дробь 1, (4) равна обыкновенной дроби 13/9.

b) 0, (45): Пусть x = 0, (45). Это означает, что x = 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + ... и так далее. Теперь выразим x в виде обыкновенной дроби:

x = 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + ... x = 45/100 + 45/10000 + 45/1000000 + ...

Теперь можно привести дроби к общему знаменателю (в данном случае, это 1000000) и сложить их:

x = (450000 + 45 + 0.045 + ...) / 1000000

Обратите внимание, что сумма бесконечного ряда (45/10000 + 45/1000000 + ...) равна 5/1111. Теперь мы можем записать x как обыкновенную дробь:

x = (450000 + 45 + 5/1111) / 1000000

Теперь можно сократить дробь, деля числитель и знаменатель на их общий делитель (5):

x = (450000 + 45 + 5/1111) / 1000000 = (450045 + 5/1111) / 1000000

Итак, десятичная дробь 0, (45) равна обыкновенной дроби (450045 + 5/1111) / 1000000.