Question

1. Задуманное число при делении на 4 даёт остаток 2, при делении на 11 - остаток 9, при делении на 14 - остаток 12. Какое число задумано, если известно, что оно наименьшее из возможных. можно пожалуйста с пояснением. даю 15 балов 1

Answer 1

Ответ:1)18.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом:

1. Задуманное число даёт остаток 2 при делении на 4. Это означает, что число делится на 4 и имеет остаток 2. Мы можем записать это в виде уравнения:

   $x \equiv 2 \pmod{4}$

2. Задуманное число даёт остаток 9 при делении на 11. Это означает, что число делится на 11 и имеет остаток 9. Мы можем записать это в виде уравнения:

   $x \equiv 9 \pmod{11}$

3. Задуманное число даёт остаток 12 при делении на 14. Это означает, что число делится на 14 и имеет остаток 12. Мы можем записать это в виде уравнения:

   $x \equiv 12 \pmod{14}$

Теперь нам нужно найти число $x$, которое удовлетворяет всем этим условиям. Для этого мы можем воспользоваться китайской теорем о вычетах (КТОВ).

Сначала найдем НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей модулей в уравнениях 4, 11 и 14. НОК(4, 11, 14) = 308.

Теперь мы можем использовать КТОВ для нахождения числа $x$:

1. $x \equiv 2 \pmod{4}$ можно переписать как $x \equiv 2 \pmod{308}$ (так как 4 является делителем 308).

2. $x \equiv 9 \pmod{11}$ можно переписать как $x \equiv 9 \pmod{308}$ (так как 11 является делителем 308).

3. $x \equiv 12 \pmod{14}$ можно переписать как $x \equiv 12 \pmod{308}$ (так как 14 является делителем 308).

Теперь у нас есть система линейных сравнений с одинаковыми модулями (308) для каждого уравнения. Мы можем объединить их в одно уравнение с помощью КТОВ.

$x \equiv (2 \cdot 11 \cdot 14 \cdot a) + (9 \cdot 4 \cdot 14 \cdot b) + (12 \cdot 4 \cdot 11 \cdot c) \pmod{308}$, где $a, b, c$ - некоторые целые числа.

Теперь нам нужно найти такие значения $a, b, c$, которые делают правую сторону сравнения равной наименьшему возможному числу. Мы ищем наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию.

Мы можем начать с $a = 1$ и увеличивать его до тех пор, пока не найдем такие значения $b$ и $c$, которые делают правую сторону сравнения минимальной.

Попробуем:

• При $a = 1$, у нас есть $x \equiv (2 \cdot 11 \cdot 14) + (9 \cdot 4 \cdot 14 \cdot b) + (12 \cdot 4 \cdot 11 \cdot c) \pmod{308}$.

• Теперь попробуем $b = 1$ и $c = 1$, получим:

  $x \equiv (2 \cdot 11 \cdot 14) + (9 \cdot 4 \cdot 14) + (12 \cdot 4 \cdot 11) \pmod{308}$,

  $x \equiv 308 + 504 + 528 \pmod{308}$,

  $x \equiv 1340 \pmod{308}$.

Теперь мы можем упростить это выражение:

$x \equiv 1340 \pmod{308}$ означает, что $x$ равно 1340 плюс любое целое кратное 308.

Чтобы получить наименьшее положительное значение $x$, мы можем вычесть из 1340 наименьшее возможное кратное 308.

$1340 - 308 = 1032$

Таким образом, наименьшее возможное число, которое удовлетворяет всем условиям, равно 1032.