Question

40 баллов. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями. x^2=3y ; y=x

Answer 1

Ответ:

====================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $x^2 = 3y$ и $y = x$, мы должны сначала найти точки их пересечения. Затем мы можем построить интеграл для вычисления площади между этими двумя кривыми на заданном интервале.

Давайте найдем точки пересечения этих двух кривых:

1. $x^2 = 3y$
2. $y = x$

Заменим $y$ в первом уравнении на $x$:

$x^2 = 3x$

Теперь решим это уравнение:

$x^2 - 3x = 0$

Факторизуем:

$x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $x$:

1. $x = 0$
2. $x = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ с использованием уравнения $y = x$:

1. Для $x = 0$: $y = 0$
2. Для $x = 3$: $y = 3$

Итак, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (3, 3).

Теперь мы можем построить интеграл для вычисления площади между этими двумя кривыми. Площадь между двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$ на интервале $[a, b]$ можно вычислить следующим образом:

$S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$

В данном случае $f(x) = x$ и $g(x) = \frac{x^2}{3}$, а интервал $[a, b]$ равен [0, 3].

Итак, вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{3} \left| x - \frac{x^2}{3} \right| dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \int_{0}^{3} \left| x - \frac{x^2}{3} \right| dx = \int_{0}^{3} \left( x - \frac{x^2}{3} \right) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{9} \right]_{0}^{3} = \left( \frac{9}{2} - \frac{27}{9} \right) - \left( \frac{0}{2} - \frac{0}{9} \right) = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями $x^2 = 3y$ и $y = x$, равна $\frac{3}{2}$ квадратных единиц (или квадратных у.е.).