Question

Даю 20 БАЛЛОВ. ПОМОГИТЕ!!! Вычислить площадь фигуры ограниченной трехлепестковой розой ρ=4sin3φ

Answer 1

Ответ: 8π

Пошаговое объяснение: r=4sin (3ф) это уравнение 3-х лепестковой розы в полярной системе координат.

Максимальное значение r=4, min r=0.  

Период функции Sin (3ф)= 2π/3 Разделим на3 равные части лучами [0; 2π]  в полярной системе координат, выполним рисунок (прилагается). Найдём площадь S₁ половины лепестка розы, а затем умножим на 6. Пределы интегрирования от 0 до π/6 ( у знака интеграла плохо видно)

S₁= 1/2·∫₀ⁿ⁾⁶(4sin(3ф))²dф= 1/2·∫₀ⁿ⁾⁶ 16sin²(3ф)dф=8·∫₀ⁿ⁾⁶sin²(3ф)dф=  

4·∫₀ⁿ⁾⁶(1-сos(6ф)dф= 4·∫₀ⁿ⁾⁶dф  - 4/6 ·∫₀ⁿ⁾⁶сos(6ф)d(6ф)=

=(4ф-sin(6ф))|₀ⁿ⁽⁶=2π/3 - sin(π)-0+0=2π/3  

Значит S=6·S₁=6·(2π/3)=8π

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной трехлепестковой розой в полярных координатах, вам потребуется интеграл. Функция для данной розы задана как $\rho = 4\sin(3\phi)$.

Чтобы вычислить площадь, давайте разобьем фигуру на маленькие элементы и затем проинтегрируем их. Площадь элемента будет равна $dA = \frac{1}{2} \rho^2 d\phi$.

Интеграл для площади всей фигуры будет выглядеть следующим образом:

$A = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \rho^2 d\phi$

где $\alpha$ и $\beta$ - углы, на которых ограничена фигура. В данном случае, трехлепестковая роза будет ограничена в пределах одного периода, т.е. $\alpha = 0$ и $\beta = 2\pi/3$.

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

$A = \int_{0}^{2\pi/3} \frac{1}{2} (4\sin(3\phi))^2 d\phi$

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi/3} 16\sin^2(3\phi) d\phi$

$A = 8 \int_{0}^{2\pi/3} (1 - \cos(6\phi)) d\phi$

Теперь вычислим интеграл:

$A = 8 \left[\phi - \frac{1}{6}\sin(6\phi)\right]_{0}^{2\pi/3}$

$A = 8 \left(\frac{2\pi}{3} - 0 - \frac{1}{6}\sin(4\pi) + \frac{1}{6}\sin(0)\right)$

$A = 8 \left(\frac{2\pi}{3} - 0 - 0 + 0\right)$

$A = \frac{16\pi}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой $\rho = 4\sin(3\phi)$, равна $\frac{16\pi}{3}$ квадратных единиц.