Question

Вычислить интеграл ∫dx/x²+x-2

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + x - 2 }$

В знаменателе выделим квадрат суммы

${x}^{2} + x - 2 = \\ {x}^{2} + x \times 2 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = \\ {(x + \frac{1}{2} )}^{2} - \frac{9}{4} = \\ {(x + \frac{1}{2}) }^{2} - { (\frac{3}{2}) }^{2}$

Получаем:

$\int\limits \frac{dx}{ {(x + \frac{1}{2}) }^{2} - {( \frac{3}{2}) }^{2} }$

Можно воспользоваться табличной формулой

$\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} - {a}^{2} } = \frac{1}{2a} ln( \frac{x - a}{x + a} ) + C$

$\int\limits \frac{d(x + \frac{1}{2}) }{ {(x + \frac{1}{2} )}^{2} - {( \frac{3}{2}) }^{2} } = \\ \frac{1}{2 \times \frac{3}{2} } ln( \frac{x + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} }{x + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} } ) + C = \\ \frac{1}{3} ln( \frac{x - 1}{x + 2} ) + C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте разложим дробь на простейшие дроби с помощью метода частных дробей:

∫(dx / (x² + x - 2))

Сначала факторизуем знаменатель:

x² + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Теперь мы можем разложить дробь на две простейшие дроби:

∫(dx / ((x + 2)(x - 1)))

A / (x + 2) + B / (x - 1)

Теперь найдем значения A и B, выполнив разложение на общий знаменатель:

A(x - 1) + B(x + 2) = 1

Раскроем скобки:

Ax - A + Bx + 2B = 1

Теперь объединим похожие члены:

(A + B)x + (-A + 2B) = 1

Теперь у нас есть система уравнений:

1. A + B = 0
2. -A + 2B = 1

Из уравнения (1) выразим A:

A = -B

Подставим это значение в уравнение (2):

-(-B) + 2B = 1

2B + B = 1

3B = 1

B = 1/3

Теперь найдем A:

A = -B = -1/3

Итак, мы нашли значения A и B. Теперь мы можем выразить исходный интеграл:

∫(dx / (x² + x - 2)) = ∫(dx / ((x + 2)(x - 1)))

= ∫(A / (x + 2) + B / (x - 1)) dx

= ∫((-1/3) / (x + 2) + (1/3) / (x - 1)) dx

Теперь можем интегрировать каждую из частей отдельно:

∫((-1/3) / (x + 2) + (1/3) / (x - 1)) dx

= (-1/3) ∫(1 / (x + 2)) dx + (1/3) ∫(1 / (x - 1)) dx

= (-1/3) * ln| x + 2 | + (1/3) * ln| x - 1 | + C

где C - постоянная интеграции.

Таким образом, окончательный ответ:

(-1/3) * ln| x + 2 | + (1/3) * ln| x - 1 | + C