Question

Найдите первообразную в общем виде: f(x) = 4sin(x/4) + cos2x

Answer 1

F(x)=5*5(-cos(x/5))+(1/2)sin2x+C вроде так

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 4\sin\left(\frac{x}{4}\right) + \cos(2x)$ в общем виде, мы будем интегрировать каждый из её компонентов по отдельности. Используем базовые правила интегрирования:

1. Интеграл $\int \sin(ax) \,dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$, где $a$ - константа.

2. Интеграл $\int \cos(ax) \,dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$, где $a$ - константа.

Сначала найдем интеграл для $4\sin\left(\frac{x}{4}\right)$:

$$\int 4\sin\left(\frac{x}{4}\right) \,dx = -\frac{4}{\frac{1}{4}}\cos\left(\frac{x}{4}\right) + C = -16\cos\left(\frac{x}{4}\right) + C_1,$$

где $C_1$ - произвольная постоянная.

Теперь найдем интеграл для $\cos(2x)$:

$$\int \cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C_2,$$

где $C_2$ - еще одна произвольная постоянная.

Теперь объединим оба интеграла:

$$\int \left(4\sin\left(\frac{x}{4}\right) + \cos(2x)\right) \,dx = -16\cos\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{1}{2}\sin(2x) + C,$$

где $C = C_1 + C_2$ - общая произвольная постоянная.

Итак, первообразная функции $f(x) = 4\sin\left(\frac{x}{4}\right) + \cos(2x)$ в общем виде:

$$F(x) = -16\cos\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{1}{2}\sin(2x) + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная.