Question

F(x)=5sinx/5+cos2x Найти первообразную в общем виде

Answer 1

-25cos(x/5)+1/2*sin(2x)

Answer 2

F(x) = -25cos(x/5) + sinx * cosx + С
P.S. sin2x разложили на 2sinx * cosx и 1/2 там сократилась.

Answer 3

Конечно, рассмотрим данную функцию \( f(x) = \frac{5\sin(x)}{5+\cos(2x)} \) и найдем ее первообразную.

Для начала, разложим \( \cos(2x) \) через тригонометрические тождества:

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]

Теперь заменим \(\cos^2(x)\) и \(\sin^2(x)\) с помощью известных тождеств:

\[ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \quad \text{и} \quad \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \]

Подставим это обратно в исходную функцию \( f(x) \):

\[ f(x) = \frac{5\sin(x)}{5 + \frac{1 + \cos(2x)}{2} - \frac{1 - \cos(2x)}{2}} = \frac{5\sin(x)}{5 + \frac{1 + \cos(2x) - 1 + \cos(2x)}{2}} = \frac{5\sin(x)}{5 + \frac{2\cos(2x)}{2}} \]

Упростим выражение:

\[ f(x) = \frac{5\sin(x)}{5 + \cos(2x)} \]

Теперь проинтегрируем это выражение. Интеграл от функции \( f(x) \) будет:

\[ \int \frac{5\sin(x)}{5 + \cos(2x)} \,dx \]

Для нахождения первообразной \( F(x) \) этой функции требуется выполнить замену переменной. Это может быть не так просто из-за сложности интеграла, и его решение может потребовать использование различных методов интегрирования.

Давай попробуем замену \( u = 5 + \cos(2x) \):

\[ du = -2\sin(2x)dx \Rightarrow dx = -\frac{du}{2\sin(2x)} \]

Теперь подставим замену в интеграл:

\[ \int \frac{5\sin(x)}{5 + \cos(2x)} \,dx = -\frac{1}{2} \int \frac{5\sin(x)}{\frac{u}{2}} \,du = -\frac{5}{2} \int \frac{\sin(x)}{u} \,du \]

Интеграл \( \int \frac{\sin(x)}{u} \,du \) представляет собой логарифмическую функцию, поэтому:

\[ -\frac{5}{2} \int \frac{\sin(x)}{u} \,du = -\frac{5}{2} \ln|u| + C = -\frac{5}{2} \ln|5 + \cos(2x)| + C \]

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{5\sin(x)}{5 + \cos(2x)} \) равна:

\[ F(x) = -\frac{5}{2} \ln|5 + \cos(2x)| + C \]

Где \( C \) - произвольная постоянная.