Question

Решите уравнениеsin cos x + 2 sin²x =cos ²x​

Answer 1

Ответ:

$2 {sin}^{2} (x) + sin(x)cos(x) - {cos}^{2} (x) = 0$

разделим на cos^2(x)

$2 {tg}^{2} (x) + tg(x) - 1 = 0$

замена:

$tg(x) = t$

$2 {t}^{2} + t - 1 = 0 \\ d = 1 + 8 = 9 \\ t1 = \frac{ - 1 + 3}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 \\ t2 = - 1$

$tg(x) = 0.5 \\ x1 = arctg(0.5) + \pi \: n \\ \\ tg(x) = - 1 \\ x2 = - \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

n принадлежит Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения мы будем использовать тригонометрические тождества. Уравнение выглядит следующим образом:

sin(x) * cos(x) + 2 * sin^2(x) = cos^2(x)

Давайте начнем с преобразования левой стороны уравнения, используя следующее тождество:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Теперь выразим cos^2(x) через sin^2(x):

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Подставим это в исходное уравнение:

sin(x) * cos(x) + 2 * sin^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь преобразуем выражение, учитывая, что sin(x) * cos(x) = 0.5 * sin(2x):

0.5 * sin(2x) + 2 * sin^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь объединим все члены синусов слева:

0.5 * sin(2x) + 3 * sin^2(x) = 1

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Преобразуем его:

3 * sin^2(x) + 0.5 * sin(2x) - 1 = 0

Давайте проведем замену переменной: t = sin(x). Тогда у нас будет:

3t^2 + 0.5 * 2t - 1 = 0

Упростим уравнение:

3t^2 + t - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением и найти t:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = 1 и c = -1. Подставим эти значения:

t = (-1 ± √(1 + 12)) / (2 * 3)

Теперь вычислим значения t:

t1 = (-1 + √13) / 6 t2 = (-1 - √13) / 6

Теперь у нас есть два значения t. Давайте найдем соответствующие значения x, используя обратную тригонометрическую функцию sin(x):

Для t1:

x1 = arcsin((-1 + √13) / 6)

Для t2:

x2 = arcsin((-1 - √13) / 6)

Таким образом, у нас есть два решения:

x1 ≈ 0.386 радиан x2 ≈ 1.185 радиан

Или, если вы хотите ответы в градусах, вы можете перевести их:

x1 ≈ 22.1 градусов x2 ≈ 67.9 градусов

Итак, уравнение sin(x) * cos(x) + 2 * sin^2(x) = cos^2(x) имеет два решения: x1 ≈ 22.1 градусов и x2 ≈ 67.9 градусов (или в радианах, как указано выше).