Question

В помещении 20 ламп. Сколько существует разных вариантов освещения, при котором светиться только 18 ламп?

Answer 1

Ответ:

190

Пошаговое объяснение:

Зажжем все лампы и будем выбирать, какие лампы гасить.

Первую лампу можно выбрать 20 способами.

Вторую лампу уже 19 способами (выбранную на первом шаге лампу повторно погасить не получится).

По правилу произведения у нас есть $20\cdot19$ разных стратегий гашения двух ламп из 20.

Осталось заметить, что все стратегии разбиваются на пары, которые приводят к одинаковому результату: не важно, сначала выключить лампу A и потом лампу B или наоборот. Значит, различных вариантов освещения в 2 раза меньше, чем количество стратегий, т.е.

$\dfrac{20\cdot19}{2}=10\cdot19=190$

Если вы знакомы с понятием биномиального коэффициента, то ответ — биномиальный коэффициент из 20 по 18:

$\displaystyle C_{20}^{18}=\binom{20}{18}=\frac{20!}{18!(20-18)!}=190$

Answer 2

Для определения количества различных вариантов освещения, при которых светятся только 18 из 20 ламп, можно воспользоваться комбинаторикой.

Используем сочетания. В данном случае, мы хотим выбрать 18 ламп из 20, которые будут светиться, а остальные 2 лампы останутся выключенными. Формула для вычисления сочетаний будет следующей:

C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)

Где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы хотим выбрать.

В нашем случае n = 20 (всего 20 ламп), k = 18 (мы хотим выбрать 18 ламп из них). Подставляем значения в формулу:

C(20, 18) = 20! / (18!(20 - 18)!) C(20, 18) = 20! / (18! * 2!) C(20, 18) = (20 * 19 * 18!) / (18! * 2) C(20, 18) = (20 * 19) / 2 C(20, 18) = 190

Таким образом, существует 190 разных вариантов освещения, при которых светятся только 18 из 20 ламп.