Question

Методом логарифмического дифференцирования найти производную функции: y = (x/(x+1))³

Answer 1

Ответ:

$y=\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x}\\\\\\lny=ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x}\\\\\\lny=x\cdot ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)\\\\\\\dfrac{y'}{y}=ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)+x\cdot \dfrac{x+1}{x}\cdot \dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)+x\cdot \dfrac{x+1}{x}\cdot \dfrac{1}{(x+1)^2}\\\\\\\dfrac{y'}{y}=ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)+\dfrac{1}{x+1}\\\\\\y'=y\cdot \Big(ln\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}\Big)$

$y'=\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x}\cdot \Big(ln\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}\Big)$

Answer 2

$y=(\frac{x}{x+1})^x\\lny=x*ln(\frac{x}{x+1})\\\\\frac{y'}{y} =ln(\frac{x}{x+1})+x*\frac{x+1}{x}*\frac{x+1-x}{(x+1)^2}\\y'=(ln(\frac{x}{x+1})+\frac{1}{x+1})*(\frac{x}{x+1})^x$

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для нахождения производной функции $y = \left(\frac{x}{x+1}\right)^3$ методом логарифмического дифференцирования, мы будем использовать следующий подход:

1. Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

$\ln(y) = \ln\left(\left(\frac{x}{x+1}\right)^3\right)$.

2. Применим правило логарифмов, чтобы вынести показатель степени вперед:

$\ln(y) = 3 \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)$.

3. Теперь продифференцируем обе стороны по переменной $x$:

$\frac{d}{dx}[\ln(y)] = \frac{d}{dx}[3 \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)]$.

4. Слева мы получим производную логарифма натурального логарифма, которая равна $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$.

5. Справа мы можем воспользоваться правилом дифференцирования логарифма:

$\frac{d}{dx}[3 \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)] = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\ln(x) - \ln(x+1)]$.

6. Далее, используем правило дифференцирования для разности функций:

$\frac{d}{dx}[\ln(x) - \ln(x+1)] = \frac{d}{dx}[\ln(x)] - \frac{d}{dx}[\ln(x+1)]$.

7. Теперь дифференцируем каждое слагаемое:

$\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$ (по правилу дифференцирования логарифма).

$\frac{d}{dx}[\ln(x+1)] = \frac{1}{x+1}$ (также по правилу дифференцирования логарифма).

8. Теперь мы можем объединить результаты и продолжить вычисления:

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 3 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right)$.

9. Теперь решим это уравнение относительно $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = y \cdot 3 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right)$.

10. Мы знаем, что $y = \left(\frac{x}{x+1}\right)^3$, поэтому подставим это значение:

$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{x}{x+1}\right)^3 \cdot 3 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right)$.

Теперь у нас есть производная функции $y = \left(\frac{x}{x+1}\right)^3$ методом логарифмического дифференцирования:

$\frac{dy}{dx} = 3 \left(\frac{x}{x+1}\right)^3 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right)$