Question

В треугольнике с вершинами A(1;2), B(5; −3), C(3;1) составить уравнение высоты из вершины A

Answer 1

Даны вершины A(1;2), B(5; −3), C(3;1).

Уравнение стороны ВС: (x - 5)/(3 - 5) = (y + 3)/(1 - (-3).

BC: (x - 5)/(-2) = (y + 3)/4 или в общем виде 2x + y - 7 = 0.

В уравнении высоты как перпендикуляра к ВС коэффициенты А и В меняются на -В и А.

Получаем -x + 2y + C = 0. Подставим координаты точки А:

-1*1 + 2*2 + С =0, отсюда С = 1 - 4 = -3.

Ответ: -x + 2y - 3 = 0 или x - 2y + 3 = 0.

Answer 2

Чтобы составить уравнение высоты из вершины A в треугольнике ABC, нам понадобятся координаты двух других вершин. Давайте найдем уравнение прямой, содержащей сторону BC.

1. Найдем угловой коэффициент прямой BC: Угловой коэффициент m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) - координаты точки B, (x2, y2) - координаты точки C.

   x1 = 5, y1 = -3 x2 = 3, y2 = 1

   m = (1 - (-3)) / (3 - 5) = 4 / (-2) = -2

2. Теперь мы можем записать уравнение прямой BC в форме "y = mx + b", используя одну из вершин B или C: Выберем B(5, -3):

   y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = -2(x - 5) y + 3 = -2x + 10 y = -2x + 7

   Таким образом, уравнение прямой BC: y = -2x + 7.

3. Высота из вершины A будет перпендикулярна стороне BC и проходить через вершину A. Перпендикулярный угловой коэффициент будет равен -1/m, где m - угловой коэффициент прямой BC.

   -1/m = -1 / (-2) = 1/2

4. Теперь используем уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 2) и имеющей угловой коэффициент 1/2. Обозначим эту прямую как AD:

   y - y1 = m(x - x1) y - 2 = (1/2)(x - 1) y - 2 = (1/2)x - 1/2 y = (1/2)x + 3/2

   Таким образом, уравнение высоты из вершины A: y = (1/2)x + 3/2.