Question

Решите уравнения: 1. 1 + sin(x/2)=cos(x) 2.1 + c0s(x) + cox(2x) = 0

Answer 1

вот это , извиняюсь за качество

Answer 2

Давайте решим данные уравнения:

1. Уравнение: 1 + sin(x/2) = cos(x)

Сначала выразим sin(x/2) как 2sin(x/4)cos(x/4) и упростим уравнение:

1 + 2sin(x/4)cos(x/4) = cos(x)

Теперь переносим 1 на правую сторону:

2sin(x/4)cos(x/4) = cos(x) - 1

Теперь делим обе стороны на 2cos(x/4) и получаем:

sin(x/4) = (cos(x) - 1) / (2cos(x/4))

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

sin^2(x/4) = [(cos(x) - 1) / (2cos(x/4))]^2

sin^2(x/4) = (cos^2(x) - 2cos(x) + 1) / (4cos^2(x/4))

Теперь заметим, что sin^2(x/4) = 1 - cos^2(x/4), и заменим sin^2(x/4) в уравнении:

1 - cos^2(x/4) = (cos^2(x) - 2cos(x) + 1) / (4cos^2(x/4))

Теперь умножим обе стороны на 4cos^2(x/4):

4cos^2(x/4) - 4cos^2(x/4)cos^2(x/4) = cos^2(x) - 2cos(x) + 1

Упростим:

4cos^2(x/4) - 4cos^2(x/4)cos^2(x/4) = (cos(x) - 1)^2

Теперь подставим cos^2(x/4) = 1 - sin^2(x/4) и упростим:

4(1 - sin^2(x/4)) - 4(1 - sin^2(x/4))sin^2(x/4) = (cos(x) - 1)^2

4 - 4sin^2(x/4) - 4sin^2(x/4) + 4sin^4(x/4) = cos^2(x) - 2cos(x) + 1

8sin^2(x/4) - 4sin^4(x/4) = cos^2(x) - 2cos(x) + 1

Теперь заметим, что sin^2(x/4) = (1 - cos(x/2)) / 2, и подставим это выражение:

8(1 - cos(x/2)) / 2 - 4(1 - cos(x/2))^2 / 2 = cos^2(x) - 2cos(x) + 1

Упростим:

4(1 - cos(x/2)) - 2(1 - cos(x/2))^2 = cos^2(x) - 2cos(x) + 1

4 - 4cos(x/2) - 2(1 - 2cos(x/2) + cos^2(x/2)) = cos^2(x) - 2cos(x) + 1

Раскроем скобки и упростим:

4 - 4cos(x/2) - 2 + 4cos(x/2) - 2cos(x/2) + 2cos^2(x/2) = cos^2(x) - 2cos(x) + 1

Теперь сократим некоторые слагаемые:

2cos^2(x/2) - 1 = cos^2(x) - 2cos(x) + 1

2cos^2(x/2) - 1 - cos^2(x) + 2cos(x) - 1 = 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

2cos^2(x/2) - cos^2(x) + 2cos(x) - 2 = 0

Теперь факторизуем:

cos^2(x/2)(2 - 1) + 2(cos(x) - 1) = 0

cos^2(x/2) + 2(cos(x) - 1) = 0

cos^2(x/2) + 2cos(x) - 2 = 0

Теперь это уравнение можно решить, используя квадратное уравнение. Пусть t = cos(x/2):

t^2 + 2t - 2 = 0

Используем квадратное уравнение:

t = (-2 ± √(2^2 - 41(-2))) / (2*1)

t = (-2 ± √(4 + 8)) / 2

t = (-2 ± √12) / 2

t = -1 ± √3

Теперь вернемся к переменной x:

1. t = -1 + √3 cos(x/2) = -1 + √3

x/2 = arccos(-1 + √3)

x = 2 * arccos(-1 + √3)

2. t = -1 - √3 cos(x/2) = -1 - √3

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как косинус не может быть меньше чем -1.

Таким образом, уравнение 1 имеет одно решение:

x = 2 * arccos(-1 + √3)

2. Уравнение: 1 + cos(x) + cos(2x) = 0

Сначала упростим уравнение:

cos(2x) = -1 - cos(x)

Теперь используем тригонометрическую формулу для косинуса удвоенного угла:

2cos^2(x) - 1 = -1 - cos(x)

2cos^2(x) + cos(x) = 0

Теперь факторизуем:

cos(x)(2cos(x) + 1) = 0

Это уравнение имеет два возможных решения:

1. cos(x) = 0

Это уравнение имеет решения при x = π/2 + πk, где k - целое число.

2. 2cos(x) + 1 = 0

2cos(x) = -1

cos(x) = -1/2

Это уравнение имеет решения при x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, уравнение 2 имеет бесконечное количество решений.