Question

Дакажи не применяя калькулятора что значение вырожение 63³+6.5¹⁴-3¹⁷ делится на 19​

Answer 1

Мне кажетса ответ будет 3.5

Answer 2

Чтобы определить, делится ли выражение $63^3 + 6.5^{14} - 3^{17}$ на 19, мы можем использовать малую теорему Ферма. Согласно этой теореме, если $a$ не делится на $p$, где $p$ - простое число, то

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

Если выражение $63^3 + 6.5^{14} - 3^{17}$ делится на 19, то это означает, что остаток от деления этого выражения на 19 должен быть равен 0.

Давайте проверим, являются ли отдельные части выражения равными 0 по модулю 19:

1. $63^3 \pmod{19}$: $63 \equiv 8 \pmod{19}$, так что $63^3 \equiv 8^3 \pmod{19}$ $8^3 = 512$, и $512 \equiv 14 \pmod{19}$

2. $6.5^{14} \pmod{19}$: Поскольку $6.5$ - десятичная дробь, давайте переведем ее в обыкновенную дробь: $6.5 = \frac{13}{2}$. Теперь $6.5^{14} = \left(\frac{13}{2}\right)^{14}$. Мы знаем, что $13^{14} \equiv 1 \pmod{19}$ (по теореме Ферма), и $(2^{14})^{-1} \equiv 9^{-1} \pmod{19}$, так как $2^{14} \equiv 16384 \equiv 9 \pmod{19}$. Поэтому $\left(\frac{13}{2}\right)^{14} \equiv 1 \cdot 9^{-1} \pmod{19}$.

3. $3^{17} \pmod{19}$: $3^{17} = (3^2)^8 \cdot 3$ $3^2 = 9 \equiv -10 \pmod{19}$, так что $(3^2)^8 \equiv (-10)^8 \pmod{19}$ $(-10)^8 = 100000000 \equiv 5 \pmod{19}$

Теперь давайте сложим все эти остатки: $14 + 1 \cdot 9^{-1} - 5 \equiv 14 + 9^{-1} - 5 \pmod{19}$

Чтобы узнать, делится ли это на 19, нам нужно найти обратное число для 9 по модулю 19. Обратное число для 9 - это 2, потому что $9 \cdot 2 \equiv 18 \equiv -1 \pmod{19}$. Таким образом,

$14 + 9^{-1} - 5 \equiv 14 + 2 - 5 \equiv 11 \pmod{19}$

Выражение $63^3 + 6.5^{14} - 3^{17}$ не делится на 19, так как его остаток при делении на 19 равен 11, а не 0.