Question

Допишіть до числа 523... три цифри так, щоб отримане шести- цифрове число ділилося на 7, 8 і 9. Скільки всього таких чисел існує? допишите к числу 523 три цыфры так, чтоб полученое число делилось на 7,8 и 9. сколько таких чисел всего?

Answer 1

Ответ:

523152 - число делится на 7, 8, 9

Пошаговое объяснение:

Представим число в виде 523АВС

где А, В, С - последние три цифры.

Рассуждаем.

1) Признак делимости на 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то само число делится на 9, тогда

(5 + 2 + 3 + А + В + С) = 10 + (А + В + С) - должно делится на 9.

Отсюда видно, что ближайшая наименьшая сумма, которая делится на 9 это 18, 27, 36 и т.д., тогда

10 + (А + В + С) = 18 ⇒ (А + В + С) = 8

или

10 + (А + В + С) = 27 ⇒ (А + В + С) = 17 и т.д.

2) Рассмотрим признак делимости на 8. Число делится без остатка на 8, если его запись оканчивается тремя цифрами, образующими число, которое делится без остатка на 8, т.е.

(4А + 2В + С) - должно делится на 8, кроме того это число должно быть обязательно чётным.

Тат как произведение 4А и 2В - всегда будут чётными, то С - чётное

Значит С = 0, 2 , 4 , 6 или 8.

3) Произведём подбор чисел, пусть С = 0, тогда

(А + В + 0) = 8 или А + В = 8, т.к. сумма чётная, то слагаемые буду нечётные 1 , 3 , 5 , 7 или 9, отсюда подходят цифры

А + В = 1 + 7 = 8 ⇒ А = 1 ; В = 7

Проверим делимость на 8

(4А + 2В + С) = 4 * 1 + 2 * 7 + 0 = 4 + 14 = 18 - не делится на 8.

или А + В = 3 + 5 = 8 ⇒ А = 3 ; В = 5

Проверим делимость на 8

(4А + 2В + С) = 4 * 3 + 2 * 5 + 0 = 12 + 10 = 22 - не делится на 8.

Нет решения!

4) Произведём подбор чисел, пусть С = 2, тогда

(А + В + 2) = 8 или А + В = 6, т.к. сумма чётная, то слагаемые буду нечётные 1 , 3 , 5 , 7 или 9, отсюда подходят цифры

А + В = 1 + 5 = 6 ⇒ А = 1 ; В = 5

Проверим делимость на 8

(4А + 2В + С) = 4 * 1 + 2 * 5 + 2 = 4 + 10 + 2 = 16 - делится на 8.

Тогда получаем число 523152 - которое делится на 8 и на 9.

5) Проверим делимость число 523152 без остатка на 7. Если разность - это число без его последней цифры минус удвоенная последняя цифра - делится на 7, то и число само делится на 7, т.е.

523152 ;

52315 - 2 * 2 = 52311;

5231 - 2 * 1 = 5229;

522 - 2*9 = 504;

50 - 2 * 4 = 42 - делится на 7, значит и число 523152 делится на 7.

Answer 2

Давайте спробуємо розв'язати цю задачу.

По-перше, ми маємо дописати три цифри до числа 523. Щоб отримати число, яке ділиться на 7, 8 і 9, це число має бути кратним всім трьом цим числам. Для початку знайдемо найменше спільне кратне (НСК) для 7, 8 і 9.

НСК(7, 8, 9) = 504

Отже, наше число має бути кратним 504. Тепер ми можемо знайти всі можливі числа, дописуючи до 523 три цифри, які дають залишок 504 при діленні.

Максимальна цифра, яку ми можемо додати до 523, - це 9 (0-9). Отже, ми маємо 10 варіантів для першої цифри, 10 варіантів для другої цифри і 10 варіантів для третьої цифри.

Отже, загальна кількість можливих чисел дорівнює 10 * 10 * 10 = 1000.

Але ми також повинні перевірити, чи ділиться кожне з цих чисел на 7, 8 і 9. Це значить, що ми повинні перевірити, чи ділиться кожне з цих чисел на 7, 8 і 9 без залишку.

Отже, загальна кількість можливих чисел, які задовольняють умові, складається з загальної кількості можливих чисел (1000) помножити на ймовірність того, що кожне з них задовольняє умові.

Тепер давайте подивимося, які числа знаходяться в діапазоні від 523 до 999, і діляться на 7, 8 і 9.

Після перевірки, ми бачимо, що існує лише одне таке число:

756

Отже, всього існує лише одне число, яке можна дописати до 523, щоб отримати шестицифрове число, яке ділиться на 7, 8 і 9.