Question

Доказать тождество 2 cos^2 (45°+4a)+sin 8a=1

Answer 1

Ответ:

2cos²(45+4a) + sin8a = 1

cos²x = (1+cos2x)/2 - формула

2cos²(45+4a) +sin8a = 1

2(1+cos2(45+4a))/2 +sin8a = 1

1+cos2(45+4a) + sin8a = 1

1+ cos(90+8a)+ sin8a = 1

cos(90+a) = -sina формула

1+ cos(90+8a) + sin8a = 1

1-sin8a +sin8a = 1

1 = 1

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать формулы тригонометрии и свойства косинуса и синуса. Давайте начнем с левой части:

2 cos^2(45° + 4a) = cos^2(45° + 4a) + cos^2(45° + 4a)

Теперь воспользуемся формулой для косинуса суммы:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Здесь A = 45°, B = 4a:

cos(45° + 4a) = cos(45°)cos(4a) - sin(45°)sin(4a)

Так как cos(45°) и sin(45°) равны 1/√2, мы можем их подставить:

cos(45° + 4a) = (1/√2)cos(4a) - (1/√2)sin(4a)

Теперь возводим это в квадрат:

cos^2(45° + 4a) = (1/2)cos^2(4a) - (1/√2)(1/√2)2cos(4a)sin(4a) + (1/2)sin^2(4a)

Следующий шаг - использовать тригонометрическое тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

cos^2(45° + 4a) = 1/2 - (1/2)sin(8a)

Теперь вернемся к исходному уравнению:

2 cos^2(45° + 4a) + sin(8a) = 1

Подставляем полученное значение:

2(1/2 - (1/2)sin(8a)) + sin(8a) = 1

Упростим уравнение:

1 - sin(8a) + sin(8a) = 1

sin(8a) и -sin(8a) взаимно уничтожают друг друга:

1 = 1

Таким образом, мы доказали, что исходное тождество 2 cos^2(45° + 4a) + sin(8a) = 1 верно.