Question

три числа образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна 24. Если первое число оставить без изменения, из второго числа прибавить 2, а к третьему прибавить 9, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа, если известно, что первое из них больше трёх

Answer 1

Ответ:

5; 8; 11

Пошаговое объяснение:

три числа: a,b,c

a+b+c=24

2b=a+c

2b+b=24

3b=24

b=8

a+c=16

c=16-a

a(c+9)=(b+2)²=10²=100

a(16-a+9)=100

a²-25a+100=0

D=(-25)²-4·100=225=15²

a₁=0,5(25-15)=5⇒c=11

a₂=0,5(25+15)=20⇒c=-4<3(возможно в условии сказано меньшее из них)

Answer 2

Пусть первое число арифметической прогрессии равно $a$, второе число равно $a + d$, а третье число равно $a + 2d$, где $d$ — разность прогрессии.

Сумма трех чисел в арифметической прогрессии равна 24, поэтому: $a + (a + d) + (a + 2d) = 24.$

Упростим это уравнение: $3a + 3d = 24,$ $a + d = 8.$ $1$

Теперь знаем, что в геометрической прогрессии, полученной из этой арифметической прогрессии, второе число увеличено на 2 (стало $a + d + 2$), а третье число увеличено на 9 (стало $a + 2d + 9$).

Соответственно, отношение второго к первому числу равно: $\frac{a + d + 2}{a} = \frac{a}{a + d}.$ $2$

Отношение третьего к второму числу равно: $\frac{a + 2d + 9}{a + d + 2} = \frac{a + d + 2}{a}.$ $3$

Теперь решим систему уравнений (1), (2) и (3) для $a$ и $d$.

Из (1) получаем: $a + d = 8.$

Из (2) и (3) получаем: $\frac{a + d + 2}{a} = \frac{a + d + 2}{8} = \frac{8}{a + d}.$

Умножим обе стороны на $(a + d)$: $(a + d + 2) = \frac{64}{a + d}.$

Переносим все на одну сторону: $(a + d)^2 + 2(a + d) - 64 = 0.$

Решим это квадратное уравнение относительно $a + d$. Подставим $x = a + d$: $x^2 + 2x - 64 = 0.$

Факторизуем: $(x + 8)(x - 6) = 0.$

Это дает два возможных значения для $x$:

1. $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$ (отрицательное значение, не учитываем).
2. $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$.

Таким образом, $a + d = 6$, а из (1) получаем $a = 2$.

Теперь мы можем найти значения чисел в арифметической прогрессии: $a = 2,$ $a + d = 2 + 6 = 8,$ $a + 2d = 2 + 2 \times 6 = 14.$

Итак, числа в арифметической прогрессии равны 2, 8 и 14.