Question

Вклетчатом прямоугольнике 2019 х 2020 провели диагональ, соединив противоположные вершины отрезком. После этого закрасили в чёрный цвет всеклеточки, которые этот отрезок пересекает (т.е. содержит точки внутри клеточки).Сколько клеточек оказалось закрашено?​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

в клетчатом прямоугольнике M × N, где M, N — взаимно простые натуральные числа, диагональ пересекает ровно M + N − 1 клеточек. Предположим для удобства, что M — длина горизонтальной стороны, а N — длина вертикальной стороны. Тогда диагональ пересекается с M −1 вертикальной линией и с N −1 горизонтальной линией. Всего, таким образом, на диагонали ровно M +N −2 точек пересечения с линиями, и эти точки разбивают диагональ на M +N −1 отрезков Каждый отрезок соответствует ровно одной из пересечённых клеточек

Ответ;

2019+2020-1=4038

Answer 2

Для того чтобы найти количество клеточек, которые были закрашены, когда провели диагональ в прямоугольнике 2019 x 2020, можно воспользоваться геометрическим методом. Заметим, что диагональ пройдет через клеточки, образуя прямоугольный треугольник. Давайте найдем площадь этого треугольника, и это будет количество закрашенных клеточек.

Диагональ разбивает прямоугольник на два треугольника, каждый из которых имеет основание 2019 и 2020. Один из этих треугольников будет верхним, а другой — нижним.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь = (основание * высота) / 2

Верхний треугольник: Площадь = (2019 * 2020) / 2 = 2,020,190

Нижний треугольник также имеет ту же площадь: 2,020,190.

Теперь сложим площади обоих треугольников, чтобы найти общую площадь закрашенных клеток:

2,020,190 + 2,020,190 = 4,040,380

Итак, в данном прямоугольнике 2019 x 2020 после проведения диагонали закрашено 4,040,380 клеточек.